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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 312 et 140 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 73 ?
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 154 ?
5220 14904
275 636
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 189 dragées blanches et 135 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 165 s et un pilote amateur en 297 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 312 et 140 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 312 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 140 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 73 ?
On effectue la division euclidienne de 73 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 154 ?
On effectue la division euclidienne de 154 par 8 :
| 5220 | 2 | 5220 = 22 × 32 × 5 × 29 |
| 2610 | 2 | |
| 1305 | 3 | |
| 435 | 3 | |
| 145 | 5 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
| 14904 | 2 | 14904 = 23 × 34 × 23 |
| 7452 | 2 | |
| 3726 | 2 | |
| 1863 | 3 | |
| 621 | 3 | |
| 207 | 3 | |
| 69 | 3 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5220 14904
=5220:36 14904:36
=145 414
275 : { 1; 5; 11; 25; 55; 275 }
636 : { 1; 2; 3; 4; 6; 12; 53; 106; 159; 212; 318; 636 }
{ 1 }
PGCD(275;636) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 275 et 636 sont premiers entre eux.
Donc la fraction275 636
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 189 dragées blanches et 135 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
135 = 5 × 27, mais 189 = 5 × 37 + 4 : le reste n'est pas nul, 189 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 ballotins (tous les dragées blanches ne seraient pas utilisés).
189 = 3 × 63 et 135 = 3 × 45 : 189 et 135 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 ballotins (63 dragées blanches et 45 dragées roses dans chaque ballotin).
| 189 | 3 | 189 = 33 × 7 |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 135 | 3 | 135 = 33 × 5 |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 189 et 135 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 189 et 135.
189 = 33 × 7 et 135 = 33 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(189;135) = 33 = 27.
On pourra constituer au maximum 27 ballotins.
189 ÷ 27 = 7 et 135 ÷ 27 = 5.
Chaque ballotin contiendra 7 dragées blanches et 5 dragées roses.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 165 s et un pilote amateur en 297 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
330 = 2 × 165 : le professionnel a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
330 = 297 × 1 + 33 : le reste n'est pas nul, 330 n'est pas un multiple de 297.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 1 tour et 33 s.
| 165 | 3 | 165 = 3 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 297 | 3 | 297 = 33 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 165 s (aux multiples de 165), et l'amateur toutes les 297 s (aux multiples de 297). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 165 et 297 : la première fois, au bout du PPCM de 165 et 297.
165 = 3 × 5 × 11 et 297 = 33 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(165;297) = 33 × 5 × 11 = 1485.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1485 s, soit 24 min 45 s.
1485 ÷ 165 = 9 et 1485 ÷ 297 = 5.
Le professionnel aura fait 9 tours et l'amateur 5 tours.
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