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J'ai bonne conscience : je roule dans une voiture allemande mais mon tailleur est juif.
Jean Yanne
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 995 et 111 par deux multiples consécutifs de 16.
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 416 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 554 ?
15680 2232
3675 3968
Un chocolatier a confectionné 231 truffes au café et 363 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 20 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 30 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 995 et 111 par deux multiples consécutifs de 16.
On effectue la division euclidienne de 995 par 16 :
On effectue la division euclidienne de 111 par 16 :
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 416 ?
On effectue la division euclidienne de 416 par 21 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 554 ?
On effectue la division euclidienne de 554 par 26 :
| 15680 | 2 | 15680 = 26 × 5 × 72 |
| 7840 | 2 | |
| 3920 | 2 | |
| 1960 | 2 | |
| 980 | 2 | |
| 490 | 2 | |
| 245 | 5 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 2232 | 2 | 2232 = 23 × 32 × 31 |
| 1116 | 2 | |
| 558 | 2 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où15680 2232
=15680:8 2232:8
=1960 279
3675 : { 1; 3; 5; 7; 15; 21; 25; 35; 49; 75; 105; 147; 175; 245; 525; 735; 1225; 3675 }
3968 : { 1; 2; 4; 8; 16; 31; 32; 62; 64; 124; 128; 248; 496; 992; 1984; 3968 }
{ 1 }
PGCD(3675;3968) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 3675 et 3968 sont premiers entre eux.
Donc la fraction3675 3968
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un chocolatier a confectionné 231 truffes au café et 363 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
231 = 3 × 77 et 363 = 3 × 121 : 231 et 363 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 boîtes (77 truffes au café et 121 truffes à la noix de coco dans chaque boîte).
231 = 7 × 33, mais 363 = 7 × 51 + 6 : le reste n'est pas nul, 363 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 boîtes (tous les truffes à la noix de coco ne seraient pas utilisés).
| 231 | 3 | 231 = 3 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 363 | 3 | 363 = 3 × 112 |
| 121 | 11 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 231 et 363 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 231 et 363.
231 = 3 × 7 × 11 et 363 = 3 × 112
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(231;363) = 3 × 11 = 33.
On pourra constituer au maximum 33 boîtes.
231 ÷ 33 = 7 et 363 ÷ 33 = 11.
Chaque boîte contiendra 7 truffes au café et 11 truffes à la noix de coco.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 20 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 30 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 7 h 55, il s'écoule 40 min, et 40 = 2 × 20 :
c'est un multiple de 20, donc un bus de la ligne A part à 7 h 55.
40 = 30 × 1 + 10 : le reste n'est pas nul, 40 n'est pas un multiple de 30.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 55.
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 20 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 30 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 20 et 30 : la première fois, au bout du PPCM.
20 = 22 × 5 et 30 = 2 × 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(20;30) = 22 × 3 × 5 = 60.
Ils repartiront ensemble 60 min après 7 h 15, soit 1 h plus tard : à 8 h 15.
60 ÷ 20 = 3 et 60 ÷ 30 = 2.
3 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.
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