site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 12393 et 14560 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   12393 / 14560

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 208 et 716.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 208 et 716.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   208 / 716

Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 96 cartes de type « feu » et 64 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.

• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « feu ».
• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « terre ».
• Toutes les cartes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 8 paquets ? Et Peut-on constituer 24 paquets ?
2. Décompose 96 et 64 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque paquet ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 6 minutes et ceux de la ligne B toutes les 9 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 12. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 6 et 9 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 00) ?

On effectue la division euclidienne de 426 par 7 :

• 426 = 7 × 60 + 6 et 6 < 7
• 426 = 420 + 6
• donc 420 < 426 < 427 (420 + 7)

On effectue la division euclidienne de 222 par 7 :

• 222 = 7 × 31 + 5 et 5 < 7
• 222 = 217 + 5
• donc 217 < 222 < 224 (217 + 7)

1. Décompositions :
   12393 = 3⁶ × 17
   14560 = 2⁵ × 5 × 7 × 13
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(12393;14560) = 2⁵ × 3⁶ × 5 × 7 × 13 × 17 = 180442080
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(12393,14560) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 12393 et 14560 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   12393 / 14560

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   208 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 52; 104; 208 }
   716 : { 1; 2; 4; 179; 358; 716 }

2. Les diviseurs communs de 208 et 716 sont :

   { 1; 2; 4 }

3. Le plus grand diviseur commun de 208 et 716 est :

   PGCD(208;716) = 4

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   208 / 716

   =

   208:4 / 716:4

   =

   52 / 179

Une collectionneuse souhaite revendre ses cartes Pokémon. Elle possède 96 cartes de type « feu » et 64 cartes de type « terre ». Elle veut réaliser des paquets identiques.

• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « feu ».
• Tous les paquets contiennent le même nombre de cartes « terre ».
• Toutes les cartes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 8 paquets ? Et Peut-on constituer 24 paquets ?
2. Décompose 96 et 64 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque paquet ?

1. Nombre de paquets :

   96 = 8 × 12 et 64 = 8 × 8 : 96 et 64 sont tous les deux divisibles par 8.
   On peut constituer 8 paquets (12 cartes « feu » et 8 cartes « terre » dans chaque paquet).

   96 = 24 × 4, mais 64 = 24 × 2 + 16 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas divisible par 24.
   On ne peut pas constituer 24 paquets (tous les cartes « terre » ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 96 :

   96	2	96 = 25 × 3
   48	2
   24	2
   12	2
   6	2
   3	3
   1

   Décomposition de 64 :

   64	2	64 = 26
   32	2
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

3. Nombre maximal de paquets :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de paquets doit diviser à la fois 96 et 64 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paquets est donc le PGCD de 96 et 64.

   96 = 2⁵ × 3 et 64 = 2⁶
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(96;64) = 2⁵ = 32.
   On pourra constituer au maximum 32 paquets.

4. Composition de chaque paquet :

   96 ÷ 32 = 3 et 64 ÷ 32 = 2.
   Chaque paquet contiendra 3 cartes « feu » et 2 cartes « terre ».

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 6 minutes et ceux de la ligne B toutes les 9 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 12. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 6 et 9 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 00) ?

1. À 7 h 12 :

   De 7 h 00 à 7 h 12, il s'écoule 12 min, et 12 = 2 × 6 : c'est un multiple de 6, donc un bus de la ligne A part à 7 h 12.
   12 = 9 × 1 + 3 : le reste n'est pas nul, 12 n'est pas un multiple de 9.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 12.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 6 :

   6	2	6 = 2 × 3
   3	3
   1

   Décomposition de 9 :

   9	3	9 = 32
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 6 min après 7 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 9 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 6 et 9 : la première fois, au bout du PPCM.

   6 = 2 × 3 et 9 = 3²
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(6;9) = 2 × 3² = 18.
   Ils repartiront ensemble 18 min après 7 h 00 : à 7 h 18.

4. Nombre de tours :

   18 ÷ 6 = 3 et 18 ÷ 9 = 2.
   3 bus de la ligne A et 2 bus de la ligne B seront partis.