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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 218 et 738 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 215 ?
Quel est le plus petit multiple de 4 supérieur à 93 ?
14700 1368
1000 2079
À la fin d'une collecte, une association a récolté 112 tee-shirts et 154 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 112 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 168 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 218 et 738 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 218 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 738 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 215 ?
On effectue la division euclidienne de 215 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 4 supérieur à 93 ?
On effectue la division euclidienne de 93 par 4 :
| 14700 | 2 | 14700 = 22 × 3 × 52 × 72 |
| 7350 | 2 | |
| 3675 | 3 | |
| 1225 | 5 | |
| 245 | 5 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 1368 | 2 | 1368 = 23 × 32 × 19 |
| 684 | 2 | |
| 342 | 2 | |
| 171 | 3 | |
| 57 | 3 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où14700 1368
=14700:12 1368:12
=1225 114
1000 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 125; 200; 250; 500; 1000 }
2079 : { 1; 3; 7; 9; 11; 21; 27; 33; 63; 77; 99; 189; 231; 297; 693; 2079 }
{ 1 }
PGCD(1000;2079) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1000 et 2079 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1000 2079
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 112 tee-shirts et 154 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
112 = 8 × 14, mais 154 = 8 × 19 + 2 : le reste n'est pas nul, 154 n'est pas divisible par 8.
On ne peut pas constituer 8 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).
| 112 | 2 | 112 = 24 × 7 |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 154 | 2 | 154 = 2 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 112 et 154 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 112 et 154.
112 = 24 × 7 et 154 = 2 × 7 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(112;154) = 2 × 7 = 14.
On pourra constituer au maximum 14 lots.
112 ÷ 14 = 8 et 154 ÷ 14 = 11.
Chaque lot contiendra 8 tee-shirts et 11 pantalons.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 112 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 168 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
224 = 2 × 112 : Camille a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
224 = 168 × 1 + 56 : le reste n'est pas nul, 224 n'est pas un multiple de 168.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 1 tour et 56 s.
| 112 | 2 | 112 = 24 × 7 |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 168 | 2 | 168 = 23 × 3 × 7 |
| 84 | 2 | |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 112 s (aux multiples de 112), et Dominique toutes les 168 s (aux multiples de 168). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 112 et 168 : la première fois, au bout du PPCM de 112 et 168.
112 = 24 × 7 et 168 = 23 × 3 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(112;168) = 24 × 3 × 7 = 336.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 336 s, soit 5 min 36 s.
336 ÷ 112 = 3 et 336 ÷ 168 = 2.
Camille aura fait 3 tours et Dominique 2 tours.
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