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Le vrai et le faux sont des attributs du langage, non des choses. Et là où il n'y a pas de langage, il n'y a ni vérité, ni fausseté.
Thomas Hobbes
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 838 et 670 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 428 ?
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 338 ?
2240 1664
891 796
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 70 garçons et les 105 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 6 secondes, le phare B toutes les 15 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 838 et 670 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 838 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 670 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 428 ?
On effectue la division euclidienne de 428 par 21 :
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 338 ?
On effectue la division euclidienne de 338 par 16 :
| 2240 | 2 | 2240 = 26 × 5 × 7 |
| 1120 | 2 | |
| 560 | 2 | |
| 280 | 2 | |
| 140 | 2 | |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 1664 | 2 | 1664 = 27 × 13 |
| 832 | 2 | |
| 416 | 2 | |
| 208 | 2 | |
| 104 | 2 | |
| 52 | 2 | |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où2240 1664
=2240:64 1664:64
=35 26
891 : { 1; 3; 9; 11; 27; 33; 81; 99; 297; 891 }
796 : { 1; 2; 4; 199; 398; 796 }
{ 1 }
PGCD(891;796) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 891 et 796 sont premiers entre eux.
Donc la fraction891 796
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 70 garçons et les 105 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
70 = 5 × 14 et 105 = 5 × 21 : 70 et 105 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 groupes (14 garçons et 21 filles dans chaque groupe).
105 = 21 × 5, mais 70 = 21 × 3 + 7 : le reste n'est pas nul, 70 n'est pas divisible par 21.
On ne peut pas constituer 21 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
| 70 | 2 | 70 = 2 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 5; 7; 35 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 70 et 105 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 70 et 105.
Le plus grand des diviseurs communs est 35.
On pourra constituer au maximum 35 groupes.
70 ÷ 35 = 2 et 105 ÷ 35 = 3.
Chaque groupe contiendra 2 garçons et 3 filles.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 6 secondes, le phare B toutes les 15 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
24 = 4 × 6 : c'est un multiple de 6, le phare A émet donc un éclat (son 4e depuis minuit).
24 = 15 × 1 + 9 : le reste n'est pas nul, 24 n'est pas un multiple de 15.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 6 | 2 | 6 = 2 × 3 |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 6 s, le phare B aux multiples de 15 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 6 et 15 : la première fois, au bout du PPCM.
6 = 2 × 3 et 15 = 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(6;15) = 2 × 3 × 5 = 30.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 30 s.
30 ÷ 6 = 5 et 30 ÷ 15 = 2.
Le phare A aura émis 5 éclats et le phare B 2 éclats.
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