site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 2436 et 5175 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   2436 / 5175

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 651 et 64.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 651 et 64.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   651 / 64

Une artisane dispose de 48 perles rouges et de 42 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.

• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles rouges.
• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles blanches.
• Toutes les perles sont utilisées.

1. Peut-on constituer 48 colliers ? Et Peut-on constituer 2 colliers ?
2. Décompose 48 et 42 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de colliers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque collier ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 32 secondes, le phare B toutes les 24 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 64 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 32 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 978 par 22 :

• 978 = 22 × 44 + 10 et 10 < 22
• 978 = 968 + 10
• donc 968 < 978 < 990 (968 + 22)

On effectue la division euclidienne de 206 par 22 :

• 206 = 22 × 9 + 8 et 8 < 22
• 206 = 198 + 8
• donc 198 < 206 < 220 (198 + 22)

1. Décompositions :
   2436 = 2² × 3 × 7 × 29
   5175 = 3² × 5² × 23
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(2436;5175) = 2² × 3² × 5² × 7 × 23 × 29 = 4202100
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(2436;5175) = 3 = 3
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   2436 / 5175

   =

   2436:3 / 5175:3

   =

   812 / 1725

1. Les diviseurs :

   651 : { 1; 3; 7; 21; 31; 93; 217; 651 }
   64 : { 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64 }

2. Les diviseurs communs de 651 et 64 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 651 et 64 est :

   PGCD(651;64) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 651 et 64 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   651 / 64

   est irréductible.

Une artisane dispose de 48 perles rouges et de 42 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.

• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles rouges.
• Tous les colliers contiennent le même nombre de perles blanches.
• Toutes les perles sont utilisées.

1. Peut-on constituer 48 colliers ? Et Peut-on constituer 2 colliers ?
2. Décompose 48 et 42 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de colliers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque collier ?

1. Nombre de colliers :

   48 = 48 × 1, mais 42 = 48 × 0 + 42 : le reste n'est pas nul, 42 n'est pas divisible par 48.
   On ne peut pas constituer 48 colliers (tous les perles blanches ne seraient pas utilisés).

   48 = 2 × 24 et 42 = 2 × 21 : 48 et 42 sont tous les deux divisibles par 2.
   On peut constituer 2 colliers (24 perles rouges et 21 perles blanches dans chaque collier).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 48 :

   48	2	48 = 24 × 3
   24	2
   12	2
   6	2
   3	3
   1

   Décomposition de 42 :

   42	2	42 = 2 × 3 × 7
   21	3
   7	7
   1

3. Nombre maximal de colliers :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de colliers doit diviser à la fois 48 et 42 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de colliers est donc le PGCD de 48 et 42.

   48 = 2⁴ × 3 et 42 = 2 × 3 × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(48;42) = 2 × 3 = 6.
   On pourra constituer au maximum 6 colliers.

4. Composition de chaque collier :

   48 ÷ 6 = 8 et 42 ÷ 6 = 7.
   Chaque collier contiendra 8 perles rouges et 7 perles blanches.

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 32 secondes, le phare B toutes les 24 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 64 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 32 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 64 s :

   64 = 2 × 32 : c'est un multiple de 32, le phare A émet donc un éclat (son 2^e depuis minuit).
   64 = 24 × 2 + 16 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas un multiple de 24.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 32 :

   32	2	32 = 25
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

   Décomposition de 24 :

   24	2	24 = 23 × 3
   12	2
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 32 s, le phare B aux multiples de 24 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 32 et 24 : la première fois, au bout du PPCM.

   32 = 2⁵ et 24 = 2³ × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(32;24) = 2⁵ × 3 = 96.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 96 s, soit 1 min 36 s.

4. Nombre de tours :

   96 ÷ 32 = 3 et 96 ÷ 24 = 4.
   Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 4 éclats.