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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 520 et 448 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 113 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 521 ?
5460 1404
5632 9315
À la fin d'une collecte, une association a récolté 480 tee-shirts et 280 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 35 secondes, le phare B toutes les 14 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 520 et 448 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 520 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 448 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 113 ?
On effectue la division euclidienne de 113 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 521 ?
On effectue la division euclidienne de 521 par 27 :
| 5460 | 2 | 5460 = 22 × 3 × 5 × 7 × 13 |
| 2730 | 2 | |
| 1365 | 3 | |
| 455 | 5 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 1404 | 2 | 1404 = 22 × 33 × 13 |
| 702 | 2 | |
| 351 | 3 | |
| 117 | 3 | |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5460 1404
=5460:156 1404:156
=35 9
5632 : { 1; 2; 4; 8; 11; 16; 22; 32; 44; 64; 88; 128; 176; 256; 352; 512; 704; 1408; 2816; 5632 }
9315 : { 1; 3; 5; 9; 15; 23; 27; 45; 69; 81; 115; 135; 207; 345; 405; 621; 1035; 1863; 3105; 9315 }
{ 1 }
PGCD(5632;9315) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 5632 et 9315 sont premiers entre eux.
Donc la fraction5632 9315
est irréductible.À la fin d'une collecte, une association a récolté 480 tee-shirts et 280 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
480 = 16 × 30, mais 280 = 16 × 17 + 8 : le reste n'est pas nul, 280 n'est pas divisible par 16.
On ne peut pas constituer 16 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).
480 = 10 × 48 et 280 = 10 × 28 : 480 et 280 sont tous les deux divisibles par 10.
On peut constituer 10 lots (48 tee-shirts et 28 pantalons dans chaque lot).
| 480 | 2 | 480 = 25 × 3 × 5 |
| 240 | 2 | |
| 120 | 2 | |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 280 | 2 | 280 = 23 × 5 × 7 |
| 140 | 2 | |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 480 et 280 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 480 et 280.
Le plus grand des diviseurs communs est 40.
On pourra constituer au maximum 40 lots.
480 ÷ 40 = 12 et 280 ÷ 40 = 7.
Chaque lot contiendra 12 tee-shirts et 7 pantalons.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 35 secondes, le phare B toutes les 14 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
35 = 1 × 35 : c'est un multiple de 35, le phare A émet donc un éclat (son 1e depuis minuit).
35 = 14 × 2 + 7 : le reste n'est pas nul, 35 n'est pas un multiple de 14.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 35 | 5 | 35 = 5 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 14 | 2 | 14 = 2 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 35 s, le phare B aux multiples de 14 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 35 et 14 : la première fois, au bout du PPCM.
35 = 5 × 7 et 14 = 2 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(35;14) = 2 × 5 × 7 = 70.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 70 s, soit 1 min 10 s.
70 ÷ 35 = 2 et 70 ÷ 14 = 5.
Le phare A aura émis 2 éclats et le phare B 5 éclats.
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