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Il semble parfois que Dieu, en créant l'homme, ait quelque peu surestimé ses capacités.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 420 et 892 par deux multiples consécutifs de 8.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 44 ?
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 319 ?
1170 5760
6440 7533
Un DJ a sélectionné 78 titres de rap et 182 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 160 s et Yanis en 224 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 420 et 892 par deux multiples consécutifs de 8.
On effectue la division euclidienne de 420 par 8 :
On effectue la division euclidienne de 892 par 8 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 44 ?
On effectue la division euclidienne de 44 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 319 ?
On effectue la division euclidienne de 319 par 16 :
| 1170 | 2 | 1170 = 2 × 32 × 5 × 13 |
| 585 | 3 | |
| 195 | 3 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 5760 | 2 | 5760 = 27 × 32 × 5 |
| 2880 | 2 | |
| 1440 | 2 | |
| 720 | 2 | |
| 360 | 2 | |
| 180 | 2 | |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1170 5760
=1170:90 5760:90
=13 64
6440 : { 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 14; 20; 23; 28; 35; 40; 46; 56; 70; 92; 115; 140; 161; 184; 230; 280; 322; 460; 644; 805; 920; 1288; 1610; 3220; 6440 }
7533 : { 1; 3; 9; 27; 31; 81; 93; 243; 279; 837; 2511; 7533 }
{ 1 }
PGCD(6440;7533) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6440 et 7533 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6440 7533
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 78 titres de rap et 182 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
78 = 2 × 39 et 182 = 2 × 91 : 78 et 182 sont tous les deux divisibles par 2.
On peut constituer 2 playlists (39 titres de rap et 91 titres d'électro dans chaque playlist).
182 = 7 × 26, mais 78 = 7 × 11 + 1 : le reste n'est pas nul, 78 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
| 78 | 2 | 78 = 2 × 3 × 13 |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 182 | 2 | 182 = 2 × 7 × 13 |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 78 et 182 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 78 et 182.
78 = 2 × 3 × 13 et 182 = 2 × 7 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(78;182) = 2 × 13 = 26.
On pourra constituer au maximum 26 playlists.
78 ÷ 26 = 3 et 182 ÷ 26 = 7.
Chaque playlist contiendra 3 titres de rap et 7 titres d'électro.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 160 s et Yanis en 224 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
320 = 2 × 160 : Inès a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
320 = 224 × 1 + 96 : le reste n'est pas nul, 320 n'est pas un multiple de 224.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 1 tour et 96 s.
| 160 | 2 | 160 = 25 × 5 |
| 80 | 2 | |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 224 | 2 | 224 = 25 × 7 |
| 112 | 2 | |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 160 s (aux multiples de 160), et Yanis toutes les 224 s (aux multiples de 224). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 160 et 224 : la première fois, au bout du PPCM de 160 et 224.
160 = 25 × 5 et 224 = 25 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(160;224) = 25 × 5 × 7 = 1120.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1120 s, soit 18 min 40 s.
1120 ÷ 160 = 7 et 1120 ÷ 224 = 5.
Inès aura fait 7 tours et Yanis 5 tours.
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