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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 336 et 178 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur à 157 ?
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 470 ?
891 368
658 962
Un collectionneur de coquillages possède 456 cônes et 418 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 40 dents et d'une roue B de 32 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 336 et 178 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 336 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 178 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur à 157 ?
On effectue la division euclidienne de 157 par 8 :
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 470 ?
On effectue la division euclidienne de 470 par 21 :
| 891 | 3 | 891 = 34 × 11 |
| 297 | 3 | |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 368 | 2 | 368 = 24 × 23 |
| 184 | 2 | |
| 92 | 2 | |
| 46 | 2 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
891 368
est irréductible.658 : { 1; 2; 7; 14; 47; 94; 329; 658 }
962 : { 1; 2; 13; 26; 37; 74; 481; 962 }
{ 1; 2 }
PGCD(658;962) = 2
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où658 962
=658:2 962:2
=329 481
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un collectionneur de coquillages possède 456 cônes et 418 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
456 = 12 × 38, mais 418 = 12 × 34 + 10 : le reste n'est pas nul, 418 n'est pas divisible par 12.
On ne peut pas constituer 12 lots (tous les porcelaines ne seraient pas utilisés).
456 = 19 × 24 et 418 = 19 × 22 : 456 et 418 sont tous les deux divisibles par 19.
On peut constituer 19 lots (24 cônes et 22 porcelaines dans chaque lot).
| 456 | 2 | 456 = 23 × 3 × 19 |
| 228 | 2 | |
| 114 | 2 | |
| 57 | 3 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 418 | 2 | 418 = 2 × 11 × 19 |
| 209 | 11 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
{ 1; 2; 19; 38 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 456 et 418 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 456 et 418.
Le plus grand des diviseurs communs est 38.
On pourra constituer au maximum 38 lots.
456 ÷ 38 = 12 et 418 ÷ 38 = 11.
Chaque lot contiendra 12 cônes et 11 porcelaines.
Un engrenage est composé d'une roue A de 40 dents et d'une roue B de 32 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 40 = 120 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 120 = 32 × 3 + 24 : le reste n'est pas nul, 120 n'est pas un multiple de 32.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 32 | 2 | 32 = 25 |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 40 et 32 : la première fois, au PPCM.
40 = 23 × 5 et 32 = 25
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(40;32) = 25 × 5 = 160.
Il passe 160 dents au point de contact, soit 160 ÷ 40 = 4 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 4 tours de la roue A.
160 ÷ 32 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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