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Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit «fermez la porte, il fait froid dehors», qu'il fait moins froid dehors quand la porte est fermée.
Pierre Dac (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 899 et 835 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 380 ?
Quel est le plus petit multiple de 19 supérieur à 362 ?
4608 7296
15795 1408
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 224 garçons et les 64 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 105 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 147 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 899 et 835 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 899 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 835 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 380 ?
On effectue la division euclidienne de 380 par 18 :
Quel est le plus petit multiple de 19 supérieur à 362 ?
On effectue la division euclidienne de 362 par 19 :
| 4608 | 2 | 4608 = 29 × 32 |
| 2304 | 2 | |
| 1152 | 2 | |
| 576 | 2 | |
| 288 | 2 | |
| 144 | 2 | |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 7296 | 2 | 7296 = 27 × 3 × 19 |
| 3648 | 2 | |
| 1824 | 2 | |
| 912 | 2 | |
| 456 | 2 | |
| 228 | 2 | |
| 114 | 2 | |
| 57 | 3 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4608 7296
=4608:384 7296:384
=12 19
15795 : { 1; 3; 5; 9; 13; 15; 27; 39; 45; 65; 81; 117; 135; 195; 243; 351; 405; 585; 1053; 1215; 1755; 3159; 5265; 15795 }
1408 : { 1; 2; 4; 8; 11; 16; 22; 32; 44; 64; 88; 128; 176; 352; 704; 1408 }
{ 1 }
PGCD(15795;1408) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 15795 et 1408 sont premiers entre eux.
Donc la fraction15795 1408
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 224 garçons et les 64 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
224 = 56 × 4, mais 64 = 56 × 1 + 8 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas divisible par 56.
On ne peut pas constituer 56 groupes (tous les filles ne seraient pas utilisés).
| 224 | 2 | 224 = 25 × 7 |
| 112 | 2 | |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 64 | 2 | 64 = 26 |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 224 et 64 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 224 et 64.
224 = 25 × 7 et 64 = 26
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(224;64) = 25 = 32.
On pourra constituer au maximum 32 groupes.
224 ÷ 32 = 7 et 64 ÷ 32 = 2.
Chaque groupe contiendra 7 garçons et 2 filles.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 105 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 147 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
420 = 4 × 105 : Camille a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
420 = 147 × 2 + 126 : le reste n'est pas nul, 420 n'est pas un multiple de 147.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 2 tours et 126 s.
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 147 | 3 | 147 = 3 × 72 |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 105 s (aux multiples de 105), et Dominique toutes les 147 s (aux multiples de 147). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 105 et 147 : la première fois, au bout du PPCM de 105 et 147.
105 = 3 × 5 × 7 et 147 = 3 × 72
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(105;147) = 3 × 5 × 72 = 735.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 735 s, soit 12 min 15 s.
735 ÷ 105 = 7 et 735 ÷ 147 = 5.
Camille aura fait 7 tours et Dominique 5 tours.
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