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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 141 et 593 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 20 ?
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 415 ?
4080 4875
10935 728
La responsable d'une animalerie a reçu 135 poissons rouges et 108 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 45 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 36 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 141 et 593 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 141 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 593 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 20 ?
On effectue la division euclidienne de 20 par 3 :
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 415 ?
On effectue la division euclidienne de 415 par 23 :
| 4080 | 2 | 4080 = 24 × 3 × 5 × 17 |
| 2040 | 2 | |
| 1020 | 2 | |
| 510 | 2 | |
| 255 | 3 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 4875 | 3 | 4875 = 3 × 53 × 13 |
| 1625 | 5 | |
| 325 | 5 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4080 4875
=4080:15 4875:15
=272 325
10935 : { 1; 3; 5; 9; 15; 27; 45; 81; 135; 243; 405; 729; 1215; 2187; 3645; 10935 }
728 : { 1; 2; 4; 7; 8; 13; 14; 26; 28; 52; 56; 91; 104; 182; 364; 728 }
{ 1 }
PGCD(10935;728) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 10935 et 728 sont premiers entre eux.
Donc la fraction10935 728
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
La responsable d'une animalerie a reçu 135 poissons rouges et 108 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
108 = 6 × 18, mais 135 = 6 × 22 + 3 : le reste n'est pas nul, 135 n'est pas divisible par 6.
On ne peut pas constituer 6 lots (tous les poissons rouges ne seraient pas utilisés).
| 108 | 2 | 108 = 22 × 33 |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 135 et 108 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 135 et 108.
135 = 33 × 5 et 108 = 22 × 33
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(135;108) = 33 = 27.
On pourra constituer au maximum 27 lots.
135 ÷ 27 = 5 et 108 ÷ 27 = 4.
Chaque lot contiendra 5 poissons rouges et 4 poissons-clowns.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 45 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 36 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 9 h 30, il s'écoule 135 min, et 135 = 3 × 45 :
c'est un multiple de 45, donc un bus de la ligne A part à 9 h 30.
135 = 36 × 3 + 27 : le reste n'est pas nul, 135 n'est pas un multiple de 36.
Aucun bus de la ligne B ne part à 9 h 30.
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 45 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 36 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 45 et 36 : la première fois, au bout du PPCM.
45 = 32 × 5 et 36 = 22 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(45;36) = 22 × 32 × 5 = 180.
Ils repartiront ensemble 180 min après 7 h 15, soit 3 h plus tard : à 10 h 15.
180 ÷ 45 = 4 et 180 ÷ 36 = 5.
4 bus de la ligne A et 5 bus de la ligne B seront partis.
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