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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 389 et 987 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 444 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 144 ?
1740 11270
1472 13365
À la fin d'une collecte, une association a récolté 192 tee-shirts et 224 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 75 s et Yanis en 105 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 389 et 987 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 389 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 987 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 444 ?
On effectue la division euclidienne de 444 par 21 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 144 ?
On effectue la division euclidienne de 144 par 11 :
| 1740 | 2 | 1740 = 22 × 3 × 5 × 29 |
| 870 | 2 | |
| 435 | 3 | |
| 145 | 5 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
| 11270 | 2 | 11270 = 2 × 5 × 72 × 23 |
| 5635 | 5 | |
| 1127 | 7 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1740 11270
=1740:10 11270:10
=174 1127
1472 : { 1; 2; 4; 8; 16; 23; 32; 46; 64; 92; 184; 368; 736; 1472 }
13365 : { 1; 3; 5; 9; 11; 15; 27; 33; 45; 55; 81; 99; 135; 165; 243; 297; 405; 495; 891; 1215; 1485; 2673; 4455; 13365 }
{ 1 }
PGCD(1472;13365) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1472 et 13365 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1472 13365
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 192 tee-shirts et 224 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
192 = 3 × 64, mais 224 = 3 × 74 + 2 : le reste n'est pas nul, 224 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).
192 = 4 × 48 et 224 = 4 × 56 : 192 et 224 sont tous les deux divisibles par 4.
On peut constituer 4 lots (48 tee-shirts et 56 pantalons dans chaque lot).
| 192 | 2 | 192 = 26 × 3 |
| 96 | 2 | |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 224 | 2 | 224 = 25 × 7 |
| 112 | 2 | |
| 56 | 2 | |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8; 16; 32 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 192 et 224 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 192 et 224.
Le plus grand des diviseurs communs est 32.
On pourra constituer au maximum 32 lots.
192 ÷ 32 = 6 et 224 ÷ 32 = 7.
Chaque lot contiendra 6 tee-shirts et 7 pantalons.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 75 s et Yanis en 105 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
300 = 4 × 75 : Inès a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
300 = 105 × 2 + 90 : le reste n'est pas nul, 300 n'est pas un multiple de 105.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 2 tours et 90 s.
| 75 | 3 | 75 = 3 × 52 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 75 s (aux multiples de 75), et Yanis toutes les 105 s (aux multiples de 105). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 75 et 105 : la première fois, au bout du PPCM de 75 et 105.
75 = 3 × 52 et 105 = 3 × 5 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(75;105) = 3 × 52 × 7 = 525.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 525 s, soit 8 min 45 s.
525 ÷ 75 = 7 et 525 ÷ 105 = 5.
Inès aura fait 7 tours et Yanis 5 tours.
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