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Le cercle n'est qu'une ligne droite revenue à son point de départ.
Frédéric Dard
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 462 et 772 par deux multiples consécutifs de 12.
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 145 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 260 ?
7371 12500
610 832
Un pâtissier a fabriqué 144 chocolats et 60 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 105 s et Yanis en 45 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 462 et 772 par deux multiples consécutifs de 12.
On effectue la division euclidienne de 462 par 12 :
On effectue la division euclidienne de 772 par 12 :
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 145 ?
On effectue la division euclidienne de 145 par 18 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 260 ?
On effectue la division euclidienne de 260 par 18 :
| 7371 | 3 | 7371 = 34 × 7 × 13 |
| 2457 | 3 | |
| 819 | 3 | |
| 273 | 3 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 12500 | 2 | 12500 = 22 × 55 |
| 6250 | 2 | |
| 3125 | 5 | |
| 625 | 5 | |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
7371 12500
est irréductible.610 : { 1; 2; 5; 10; 61; 122; 305; 610 }
832 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 32; 52; 64; 104; 208; 416; 832 }
{ 1; 2 }
PGCD(610;832) = 2
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où610 832
=610:2 832:2
=305 416
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un pâtissier a fabriqué 144 chocolats et 60 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
144 = 36 × 4, mais 60 = 36 × 1 + 24 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas divisible par 36.
On ne peut pas constituer 36 boîtes (tous les biscuits ne seraient pas utilisés).
| 144 | 2 | 144 = 24 × 32 |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 60 | 2 | 60 = 22 × 3 × 5 |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 144 et 60 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 144 et 60.
144 = 24 × 32 et 60 = 22 × 3 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(144;60) = 22 × 3 = 12.
On pourra constituer au maximum 12 boîtes.
144 ÷ 12 = 12 et 60 ÷ 12 = 5.
Chaque boîte contiendra 12 chocolats et 5 biscuits.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 105 s et Yanis en 45 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
210 = 2 × 105 : Inès a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
210 = 45 × 4 + 30 : le reste n'est pas nul, 210 n'est pas un multiple de 45.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 4 tours et 30 s.
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 105 s (aux multiples de 105), et Yanis toutes les 45 s (aux multiples de 45). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 105 et 45 : la première fois, au bout du PPCM de 105 et 45.
105 = 3 × 5 × 7 et 45 = 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(105;45) = 32 × 5 × 7 = 315.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 315 s, soit 5 min 15 s.
315 ÷ 105 = 3 et 315 ÷ 45 = 7.
Inès aura fait 3 tours et Yanis 7 tours.
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