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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 51 et 619 par deux multiples consécutifs de 19.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 315 ?
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 237 ?
992 4185
567 2600
La présidente d'un club de sport a acheté 396 autocollants et 165 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
Un engrenage est composé d'une roue A de 55 dents et d'une roue B de 22 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 51 et 619 par deux multiples consécutifs de 19.
On effectue la division euclidienne de 51 par 19 :
On effectue la division euclidienne de 619 par 19 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 315 ?
On effectue la division euclidienne de 315 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 237 ?
On effectue la division euclidienne de 237 par 21 :
| 992 | 2 | 992 = 25 × 31 |
| 496 | 2 | |
| 248 | 2 | |
| 124 | 2 | |
| 62 | 2 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 4185 | 3 | 4185 = 33 × 5 × 31 |
| 1395 | 3 | |
| 465 | 3 | |
| 155 | 5 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où992 4185
=992:31 4185:31
=32 135
567 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 63; 81; 189; 567 }
2600 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 13; 20; 25; 26; 40; 50; 52; 65; 100; 104; 130; 200; 260; 325; 520; 650; 1300; 2600 }
{ 1 }
PGCD(567;2600) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 567 et 2600 sont premiers entre eux.
Donc la fraction567 2600
est irréductible.La présidente d'un club de sport a acheté 396 autocollants et 165 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
396 = 44 × 9, mais 165 = 44 × 3 + 33 : le reste n'est pas nul, 165 n'est pas divisible par 44.
On ne peut pas constituer 44 sachets (tous les drapeaux ne seraient pas utilisés).
396 = 11 × 36 et 165 = 11 × 15 : 396 et 165 sont tous les deux divisibles par 11.
On peut constituer 11 sachets (36 autocollants et 15 drapeaux dans chaque sachet).
| 165 | 3 | 165 = 3 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 396 et 165 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 396 et 165.
396 = 22 × 32 × 11 et 165 = 3 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(396;165) = 3 × 11 = 33.
On pourra constituer au maximum 33 sachets.
396 ÷ 33 = 12 et 165 ÷ 33 = 5.
Chaque sachet contiendra 12 autocollants et 5 drapeaux.
Un engrenage est composé d'une roue A de 55 dents et d'une roue B de 22 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 55 = 55 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 55 = 22 × 2 + 11 : le reste n'est pas nul, 55 n'est pas un multiple de 22.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 55 | 5 | 55 = 5 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 22 | 2 | 22 = 2 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 55 et 22 : la première fois, au PPCM.
55 = 5 × 11 et 22 = 2 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(55;22) = 2 × 5 × 11 = 110.
Il passe 110 dents au point de contact, soit 110 ÷ 55 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
110 ÷ 22 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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