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On peut courir deux lièvres à la fois, si, et seulement si, ils courent côte à côte.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 628 et 540 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 321 ?
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 312 ?
15795 14112
10304 891
Un collectionneur de coquillages possède 165 cônes et 60 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 400 s et Hugo en 160 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 628 et 540 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 628 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 540 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 321 ?
On effectue la division euclidienne de 321 par 23 :
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 312 ?
On effectue la division euclidienne de 312 par 22 :
| 15795 | 3 | 15795 = 35 × 5 × 13 |
| 5265 | 3 | |
| 1755 | 3 | |
| 585 | 3 | |
| 195 | 3 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 14112 | 2 | 14112 = 25 × 32 × 72 |
| 7056 | 2 | |
| 3528 | 2 | |
| 1764 | 2 | |
| 882 | 2 | |
| 441 | 3 | |
| 147 | 3 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où15795 14112
=15795:9 14112:9
=1755 1568
10304 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 16; 23; 28; 32; 46; 56; 64; 92; 112; 161; 184; 224; 322; 368; 448; 644; 736; 1288; 1472; 2576; 5152; 10304 }
891 : { 1; 3; 9; 11; 27; 33; 81; 99; 297; 891 }
{ 1 }
PGCD(10304;891) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 10304 et 891 sont premiers entre eux.
Donc la fraction10304 891
est irréductible.Un collectionneur de coquillages possède 165 cônes et 60 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
60 = 30 × 2, mais 165 = 30 × 5 + 15 : le reste n'est pas nul, 165 n'est pas divisible par 30.
On ne peut pas constituer 30 lots (tous les cônes ne seraient pas utilisés).
| 60 | 2 | 60 = 22 × 3 × 5 |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 165 et 60 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 165 et 60.
165 = 3 × 5 × 11 et 60 = 22 × 3 × 5
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(165;60) = 3 × 5 = 15.
On pourra constituer au maximum 15 lots.
165 ÷ 15 = 11 et 60 ÷ 15 = 4.
Chaque lot contiendra 11 cônes et 4 porcelaines.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 400 s et Hugo en 160 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
400 = 1 × 400 : Léa a fait exactement 1 tour et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
400 = 160 × 2 + 80 : le reste n'est pas nul, 400 n'est pas un multiple de 160.
Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 2 tours et 80 s.
| 400 | 2 | 400 = 24 × 52 |
| 200 | 2 | |
| 100 | 2 | |
| 50 | 2 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 160 | 2 | 160 = 25 × 5 |
| 80 | 2 | |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Léa passe sur la ligne de départ toutes les 400 s (aux multiples de 400), et Hugo toutes les 160 s (aux multiples de 160). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 400 et 160 : la première fois, au bout du PPCM de 400 et 160.
400 = 24 × 52 et 160 = 25 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(400;160) = 25 × 52 = 800.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 800 s, soit 13 min 20 s.
800 ÷ 400 = 2 et 800 ÷ 160 = 5.
Léa aura fait 2 tours et Hugo 5 tours.
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