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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 251 et 89 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 274 ?
Quel est le plus petit multiple de 19 supérieur à 353 ?
10440 15795
6561 1040
Un DJ a sélectionné 120 titres de rap et 144 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 42 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 105 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 251 et 89 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 251 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 89 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 274 ?
On effectue la division euclidienne de 274 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 19 supérieur à 353 ?
On effectue la division euclidienne de 353 par 19 :
| 10440 | 2 | 10440 = 23 × 32 × 5 × 29 |
| 5220 | 2 | |
| 2610 | 2 | |
| 1305 | 3 | |
| 435 | 3 | |
| 145 | 5 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
| 15795 | 3 | 15795 = 35 × 5 × 13 |
| 5265 | 3 | |
| 1755 | 3 | |
| 585 | 3 | |
| 195 | 3 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où10440 15795
=10440:45 15795:45
=232 351
6561 : { 1; 3; 9; 27; 81; 243; 729; 2187; 6561 }
1040 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 13; 16; 20; 26; 40; 52; 65; 80; 104; 130; 208; 260; 520; 1040 }
{ 1 }
PGCD(6561;1040) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6561 et 1040 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6561 1040
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 120 titres de rap et 144 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
144 = 36 × 4, mais 120 = 36 × 3 + 12 : le reste n'est pas nul, 120 n'est pas divisible par 36.
On ne peut pas constituer 36 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
| 120 | 2 | 120 = 23 × 3 × 5 |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 144 | 2 | 144 = 24 × 32 |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 120 et 144 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 120 et 144.
Le plus grand des diviseurs communs est 24.
On pourra constituer au maximum 24 playlists.
120 ÷ 24 = 5 et 144 ÷ 24 = 6.
Chaque playlist contiendra 5 titres de rap et 6 titres d'électro.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 42 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 105 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
84 = 2 × 42 : Camille a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
84 = 105 × 0 + 84 : le reste n'est pas nul, 84 n'est pas un multiple de 105.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 0 tour et 84 s.
| 42 | 2 | 42 = 2 × 3 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 105 | 3 | 105 = 3 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 42 s (aux multiples de 42), et Dominique toutes les 105 s (aux multiples de 105). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 42 et 105 : la première fois, au bout du PPCM de 42 et 105.
42 = 2 × 3 × 7 et 105 = 3 × 5 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(42;105) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 210 s, soit 3 min 30 s.
210 ÷ 42 = 5 et 210 ÷ 105 = 2.
Camille aura fait 5 tours et Dominique 2 tours.
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