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Proverbe Russe
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 85 et 919 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur à 114 ?
Quel est le plus petit multiple de 9 supérieur à 188 ?
8625 256
360 184
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 418 garçons et les 380 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 102 s et Hugo en 170 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 85 et 919 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 85 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 919 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur à 114 ?
On effectue la division euclidienne de 114 par 7 :
Quel est le plus petit multiple de 9 supérieur à 188 ?
On effectue la division euclidienne de 188 par 9 :
| 8625 | 3 | 8625 = 3 × 53 × 23 |
| 2875 | 5 | |
| 575 | 5 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 256 | 2 | 256 = 28 |
| 128 | 2 | |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
8625 256
est irréductible.360 : { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30; 36; 40; 45; 60; 72; 90; 120; 180; 360 }
184 : { 1; 2; 4; 8; 23; 46; 92; 184 }
{ 1; 2; 4; 8 }
PGCD(360;184) = 8
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où360 184
=360:8 184:8
=45 23
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 418 garçons et les 380 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
380 = 10 × 38, mais 418 = 10 × 41 + 8 : le reste n'est pas nul, 418 n'est pas divisible par 10.
On ne peut pas constituer 10 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
| 418 | 2 | 418 = 2 × 11 × 19 |
| 209 | 11 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 380 | 2 | 380 = 22 × 5 × 19 |
| 190 | 2 | |
| 95 | 5 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 418 et 380 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 418 et 380.
418 = 2 × 11 × 19 et 380 = 22 × 5 × 19
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(418;380) = 2 × 19 = 38.
On pourra constituer au maximum 38 groupes.
418 ÷ 38 = 11 et 380 ÷ 38 = 10.
Chaque groupe contiendra 11 garçons et 10 filles.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 102 s et Hugo en 170 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
204 = 2 × 102 : Léa a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
204 = 170 × 1 + 34 : le reste n'est pas nul, 204 n'est pas un multiple de 170.
Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 1 tour et 34 s.
| 102 | 2 | 102 = 2 × 3 × 17 |
| 51 | 3 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 170 | 2 | 170 = 2 × 5 × 17 |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Léa passe sur la ligne de départ toutes les 102 s (aux multiples de 102), et Hugo toutes les 170 s (aux multiples de 170). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 102 et 170 : la première fois, au bout du PPCM de 102 et 170.
102 = 2 × 3 × 17 et 170 = 2 × 5 × 17
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(102;170) = 2 × 3 × 5 × 17 = 510.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 510 s, soit 8 min 30 s.
510 ÷ 102 = 5 et 510 ÷ 170 = 3.
Léa aura fait 5 tours et Hugo 3 tours.
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