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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 562 et 721 par deux multiples consécutifs de 8.
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 124 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 97 ?
9016 10880
11907 400
Un DJ a sélectionné 360 titres de rap et 324 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 30 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 562 et 721 par deux multiples consécutifs de 8.
On effectue la division euclidienne de 562 par 8 :
On effectue la division euclidienne de 721 par 8 :
Quel est le plus grand multiple de 13 inférieur à 124 ?
On effectue la division euclidienne de 124 par 13 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 97 ?
On effectue la division euclidienne de 97 par 11 :
| 9016 | 2 | 9016 = 23 × 72 × 23 |
| 4508 | 2 | |
| 2254 | 2 | |
| 1127 | 7 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 10880 | 2 | 10880 = 27 × 5 × 17 |
| 5440 | 2 | |
| 2720 | 2 | |
| 1360 | 2 | |
| 680 | 2 | |
| 340 | 2 | |
| 170 | 2 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où9016 10880
=9016:8 10880:8
=1127 1360
11907 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 49; 63; 81; 147; 189; 243; 441; 567; 1323; 1701; 3969; 11907 }
400 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 25; 40; 50; 80; 100; 200; 400 }
{ 1 }
PGCD(11907;400) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 11907 et 400 sont premiers entre eux.
Donc la fraction11907 400
est irréductible.Un DJ a sélectionné 360 titres de rap et 324 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
360 = 18 × 20 et 324 = 18 × 18 : 360 et 324 sont tous les deux divisibles par 18.
On peut constituer 18 playlists (20 titres de rap et 18 titres d'électro dans chaque playlist).
360 = 5 × 72, mais 324 = 5 × 64 + 4 : le reste n'est pas nul, 324 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 playlists (tous les titres d'électro ne seraient pas utilisés).
| 360 | 2 | 360 = 23 × 32 × 5 |
| 180 | 2 | |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 324 | 2 | 324 = 22 × 34 |
| 162 | 2 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 360 et 324 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 360 et 324.
Le plus grand des diviseurs communs est 36.
On pourra constituer au maximum 36 playlists.
360 ÷ 36 = 10 et 324 ÷ 36 = 9.
Chaque playlist contiendra 10 titres de rap et 9 titres d'électro.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 30 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 36 = 108 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 108 = 30 × 3 + 18 : le reste n'est pas nul, 108 n'est pas un multiple de 30.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 36 et 30 : la première fois, au PPCM.
36 = 22 × 32 et 30 = 2 × 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(36;30) = 22 × 32 × 5 = 180.
Il passe 180 dents au point de contact, soit 180 ÷ 36 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
180 ÷ 30 = 6.
La roue B aura effectué 6 tours.
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