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Oscar Wilde
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 184 et 536 par deux multiples consécutifs de 21.
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 411 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 358 ?
4560 4140
5481 3125
Une artisane dispose de 135 perles rouges et de 150 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 30 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 184 et 536 par deux multiples consécutifs de 21.
On effectue la division euclidienne de 184 par 21 :
On effectue la division euclidienne de 536 par 21 :
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 411 ?
On effectue la division euclidienne de 411 par 20 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 358 ?
On effectue la division euclidienne de 358 par 26 :
| 4560 | 2 | 4560 = 24 × 3 × 5 × 19 |
| 2280 | 2 | |
| 1140 | 2 | |
| 570 | 2 | |
| 285 | 3 | |
| 95 | 5 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 4140 | 2 | 4140 = 22 × 32 × 5 × 23 |
| 2070 | 2 | |
| 1035 | 3 | |
| 345 | 3 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4560 4140
=4560:60 4140:60
=76 69
5481 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 29; 63; 87; 189; 203; 261; 609; 783; 1827; 5481 }
3125 : { 1; 5; 25; 125; 625; 3125 }
{ 1 }
PGCD(5481;3125) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 5481 et 3125 sont premiers entre eux.
Donc la fraction5481 3125
est irréductible.Une artisane dispose de 135 perles rouges et de 150 perles blanches. Elle veut fabriquer des colliers.
135 = 45 × 3, mais 150 = 45 × 3 + 15 : le reste n'est pas nul, 150 n'est pas divisible par 45.
On ne peut pas constituer 45 colliers (tous les perles blanches ne seraient pas utilisés).
135 = 5 × 27 et 150 = 5 × 30 : 135 et 150 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 colliers (27 perles rouges et 30 perles blanches dans chaque collier).
| 150 | 2 | 150 = 2 × 3 × 52 |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de colliers doit diviser à la fois 135 et 150 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de colliers est donc le PGCD de 135 et 150.
135 = 33 × 5 et 150 = 2 × 3 × 52
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(135;150) = 3 × 5 = 15.
On pourra constituer au maximum 15 colliers.
135 ÷ 15 = 9 et 150 ÷ 15 = 10.
Chaque collier contiendra 9 perles rouges et 10 perles blanches.
Un engrenage est composé d'une roue A de 36 dents et d'une roue B de 30 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 4 × 36 = 144 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 144 = 30 × 4 + 24 : le reste n'est pas nul, 144 n'est pas un multiple de 30.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 36 et 30 : la première fois, au PPCM.
36 = 22 × 32 et 30 = 2 × 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(36;30) = 22 × 32 × 5 = 180.
Il passe 180 dents au point de contact, soit 180 ÷ 36 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
180 ÷ 30 = 6.
La roue B aura effectué 6 tours.
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