site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 7616 et 5952 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   7616 / 5952

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 1088 et 8085.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 1088 et 8085.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   1088 / 8085

Une médiathèque se sépare de 220 DVD pour enfants et de 242 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD pour enfants.
• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD de documentaires.
• Tous les DVD sont vendus.

1. Peut-on constituer 55 lots ?
2. Décompose 220 et 242 en produit de facteurs premiers.
3. Déduis-en la liste des diviseurs communs à 220 et 242.
4. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
5. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 15 minutes et ceux de la ligne B toutes les 10 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 15. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 15 et 10 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 00) ?

On effectue la division euclidienne de 121 par 12 :

• 121 = 12 × 10 + 1 et 1 < 12
• 121 = 120 + 1
• donc 120 < 121 < 132 (120 + 12)

On effectue la division euclidienne de 362 par 12 :

• 362 = 12 × 30 + 2 et 2 < 12
• 362 = 360 + 2
• donc 360 < 362 < 372 (360 + 12)

1. Décompositions :
   7616 = 2⁶ × 7 × 17
   5952 = 2⁶ × 3 × 31
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(7616;5952) = 2⁶ × 3 × 7 × 17 × 31 = 708288
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(7616;5952) = 2⁶ = 64
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   7616 / 5952

   =

   7616:64 / 5952:64

   =

   119 / 93

1. Les diviseurs :

   1088 : { 1; 2; 4; 8; 16; 17; 32; 34; 64; 68; 136; 272; 544; 1088 }
   8085 : { 1; 3; 5; 7; 11; 15; 21; 33; 35; 49; 55; 77; 105; 147; 165; 231; 245; 385; 539; 735; 1155; 1617; 2695; 8085 }

2. Les diviseurs communs de 1088 et 8085 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 1088 et 8085 est :

   PGCD(1088;8085) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1088 et 8085 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   1088 / 8085

   est irréductible.

Une médiathèque se sépare de 220 DVD pour enfants et de 242 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD pour enfants.
• Tous les lots contiennent le même nombre de DVD de documentaires.
• Tous les DVD sont vendus.

1. Peut-on constituer 55 lots ?
2. Décompose 220 et 242 en produit de facteurs premiers.
3. Déduis-en la liste des diviseurs communs à 220 et 242.
4. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
5. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   220 = 55 × 4, mais 242 = 55 × 4 + 22 : le reste n'est pas nul, 242 n'est pas divisible par 55.
   On ne peut pas constituer 55 lots (tous les DVD de documentaires ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 220 :

   220	2	220 = 22 × 5 × 11
   110	2
   55	5
   11	11
   1

   Décomposition de 242 :

   242	2	242 = 2 × 112
   121	11
   11	11
   1

3. Les diviseurs communs à 220 et 242 sont :

   { 1; 2; 11; 22 }

4. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 220 et 242 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 220 et 242.

   Le plus grand des diviseurs communs est 22.
   On pourra constituer au maximum 22 lots.

5. Composition de chaque lot :

   220 ÷ 22 = 10 et 242 ÷ 22 = 11.
   Chaque lot contiendra 10 DVD pour enfants et 11 DVD de documentaires.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 15 minutes et ceux de la ligne B toutes les 10 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 00.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 7 h 15. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 15 et 10 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 00) ?

1. À 7 h 15 :

   De 7 h 00 à 7 h 15, il s'écoule 15 min, et 15 = 1 × 15 : c'est un multiple de 15, donc un bus de la ligne A part à 7 h 15.
   15 = 10 × 1 + 5 : le reste n'est pas nul, 15 n'est pas un multiple de 10.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 15.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 15 :

   15	3	15 = 3 × 5
   5	5
   1

   Décomposition de 10 :

   10	2	10 = 2 × 5
   5	5
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 15 min après 7 h 00, ceux de la ligne B aux multiples de 10 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 15 et 10 : la première fois, au bout du PPCM.

   15 = 3 × 5 et 10 = 2 × 5
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(15;10) = 2 × 3 × 5 = 30.
   Ils repartiront ensemble 30 min après 7 h 00 : à 7 h 30.

4. Nombre de tours :

   30 ÷ 15 = 2 et 30 ÷ 10 = 3.
   2 bus de la ligne A et 3 bus de la ligne B seront partis.