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Pourquoi, en vacances, s'obstine-t-on à choisir douze cartes postales différentes alors qu'elles sont destinées à douze personnes différentes ?
Sacha Guitry
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 946 et 353 par deux multiples consécutifs de 15.
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 431 ?
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 179 ?
15625 8568
936 872
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 63 garçons et les 54 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 28 secondes, le phare B toutes les 8 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 946 et 353 par deux multiples consécutifs de 15.
On effectue la division euclidienne de 946 par 15 :
On effectue la division euclidienne de 353 par 15 :
Quel est le plus grand multiple de 18 inférieur à 431 ?
On effectue la division euclidienne de 431 par 18 :
Quel est le plus petit multiple de 8 supérieur à 179 ?
On effectue la division euclidienne de 179 par 8 :
| 15625 | 5 | 15625 = 56 |
| 3125 | 5 | |
| 625 | 5 | |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 8568 | 2 | 8568 = 23 × 32 × 7 × 17 |
| 4284 | 2 | |
| 2142 | 2 | |
| 1071 | 3 | |
| 357 | 3 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
15625 8568
est irréductible.936 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 13; 18; 24; 26; 36; 39; 52; 72; 78; 104; 117; 156; 234; 312; 468; 936 }
872 : { 1; 2; 4; 8; 109; 218; 436; 872 }
{ 1; 2; 4; 8 }
PGCD(936;872) = 8
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où936 872
=936:8 872:8
=117 109
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 63 garçons et les 54 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
63 = 3 × 21 et 54 = 3 × 18 : 63 et 54 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 groupes (21 garçons et 18 filles dans chaque groupe).
63 = 7 × 9, mais 54 = 7 × 7 + 5 : le reste n'est pas nul, 54 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 groupes (tous les filles ne seraient pas utilisés).
| 63 | 3 | 63 = 32 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 54 | 2 | 54 = 2 × 33 |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 3; 9 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 63 et 54 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 63 et 54.
Le plus grand des diviseurs communs est 9.
On pourra constituer au maximum 9 groupes.
63 ÷ 9 = 7 et 54 ÷ 9 = 6.
Chaque groupe contiendra 7 garçons et 6 filles.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 28 secondes, le phare B toutes les 8 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
28 = 1 × 28 : c'est un multiple de 28, le phare A émet donc un éclat (son 1e depuis minuit).
28 = 8 × 3 + 4 : le reste n'est pas nul, 28 n'est pas un multiple de 8.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 28 | 2 | 28 = 22 × 7 |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 8 | 2 | 8 = 23 |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 28 s, le phare B aux multiples de 8 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 28 et 8 : la première fois, au bout du PPCM.
28 = 22 × 7 et 8 = 23
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(28;8) = 23 × 7 = 56.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 56 s.
56 ÷ 28 = 2 et 56 ÷ 8 = 7.
Le phare A aura émis 2 éclats et le phare B 7 éclats.
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