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Felix qui potuit rerum cognoscere causas.
Heureux qui a pu connaître les causes des choses.Virgile (Sur mon T-shirt)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 801 et 684 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 166 ?
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 234 ?
64 7047
170 387
Un aquaculteur élève 220 petits bénitiers et 200 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 22 dents et d'une roue B de 55 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 801 et 684 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 801 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 684 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 166 ?
On effectue la division euclidienne de 166 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 234 ?
On effectue la division euclidienne de 234 par 10 :
| 64 | 2 | 64 = 26 |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 7047 | 3 | 7047 = 35 × 29 |
| 2349 | 3 | |
| 783 | 3 | |
| 261 | 3 | |
| 87 | 3 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
64 7047
est irréductible.170 : { 1; 2; 5; 10; 17; 34; 85; 170 }
387 : { 1; 3; 9; 43; 129; 387 }
{ 1 }
PGCD(170;387) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 170 et 387 sont premiers entre eux.
Donc la fraction170 387
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un aquaculteur élève 220 petits bénitiers et 200 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
220 = 44 × 5, mais 200 = 44 × 4 + 24 : le reste n'est pas nul, 200 n'est pas divisible par 44.
On ne peut pas constituer 44 lots (tous les grands bénitiers ne seraient pas utilisés).
| 220 | 2 | 220 = 22 × 5 × 11 |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 200 | 2 | 200 = 23 × 52 |
| 100 | 2 | |
| 50 | 2 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 5; 10; 20 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 220 et 200 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 220 et 200.
Le plus grand des diviseurs communs est 20.
On pourra constituer au maximum 20 lots.
220 ÷ 20 = 11 et 200 ÷ 20 = 10.
Chaque lot contiendra 11 petits bénitiers et 10 grands bénitiers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 22 dents et d'une roue B de 55 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 22 = 66 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 66 = 55 × 1 + 11 : le reste n'est pas nul, 66 n'est pas un multiple de 55.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 22 | 2 | 22 = 2 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 55 | 5 | 55 = 5 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 22 et 55 : la première fois, au PPCM.
22 = 2 × 11 et 55 = 5 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(22;55) = 2 × 5 × 11 = 110.
Il passe 110 dents au point de contact, soit 110 ÷ 22 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
110 ÷ 55 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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