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La réalité n'est qu'une illusion, aussi tenace soit-elle.
Albert Einstein
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Encadre 282 et 563 par deux multiples consécutifs de 19.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 78 ?
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 228 ?
15435 11136
608 9477
La responsable d'une animalerie a reçu 210 poissons rouges et 330 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 222 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 296 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 282 et 563 par deux multiples consécutifs de 19.
On effectue la division euclidienne de 282 par 19 :
On effectue la division euclidienne de 563 par 19 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 78 ?
On effectue la division euclidienne de 78 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 228 ?
On effectue la division euclidienne de 228 par 16 :
| 15435 | 3 | 15435 = 32 × 5 × 73 |
| 5145 | 3 | |
| 1715 | 5 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 11136 | 2 | 11136 = 27 × 3 × 29 |
| 5568 | 2 | |
| 2784 | 2 | |
| 1392 | 2 | |
| 696 | 2 | |
| 348 | 2 | |
| 174 | 2 | |
| 87 | 3 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où15435 11136
=15435:3 11136:3
=5145 3712
608 : { 1; 2; 4; 8; 16; 19; 32; 38; 76; 152; 304; 608 }
9477 : { 1; 3; 9; 13; 27; 39; 81; 117; 243; 351; 729; 1053; 3159; 9477 }
{ 1 }
PGCD(608;9477) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 608 et 9477 sont premiers entre eux.
Donc la fraction608 9477
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
La responsable d'une animalerie a reçu 210 poissons rouges et 330 poissons-clowns. Elle veut les vendre en lots identiques.
330 = 55 × 6, mais 210 = 55 × 3 + 45 : le reste n'est pas nul, 210 n'est pas divisible par 55.
On ne peut pas constituer 55 lots (tous les poissons rouges ne seraient pas utilisés).
| 330 | 2 | 330 = 2 × 3 × 5 × 11 |
| 165 | 3 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 210 et 330 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 210 et 330.
210 = 2 × 3 × 5 × 7 et 330 = 2 × 3 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(210;330) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 lots.
210 ÷ 30 = 7 et 330 ÷ 30 = 11.
Chaque lot contiendra 7 poissons rouges et 11 poissons-clowns.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 222 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 296 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
666 = 3 × 222 : Camille a fait exactement 3 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
666 = 296 × 2 + 74 : le reste n'est pas nul, 666 n'est pas un multiple de 296.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 2 tours et 74 s.
| 222 | 2 | 222 = 2 × 3 × 37 |
| 111 | 3 | |
| 37 | 37 | |
| 1 |
| 296 | 2 | 296 = 23 × 37 |
| 148 | 2 | |
| 74 | 2 | |
| 37 | 37 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 222 s (aux multiples de 222), et Dominique toutes les 296 s (aux multiples de 296). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 222 et 296 : la première fois, au bout du PPCM de 222 et 296.
222 = 2 × 3 × 37 et 296 = 23 × 37
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(222;296) = 23 × 3 × 37 = 888.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 888 s, soit 14 min 48 s.
888 ÷ 222 = 4 et 888 ÷ 296 = 3.
Camille aura fait 4 tours et Dominique 3 tours.
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