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Les Echecs. Le seul d'entre tous les jeux qui échappe à la tyrannie du hasard.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 878 et 119 par deux multiples consécutifs de 12.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 341 ?
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 268 ?
608 1760
6825 512
Un aquaculteur élève 75 petits bénitiers et 175 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 340 s et un pilote amateur en 136 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 878 et 119 par deux multiples consécutifs de 12.
On effectue la division euclidienne de 878 par 12 :
On effectue la division euclidienne de 119 par 12 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 341 ?
On effectue la division euclidienne de 341 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 268 ?
On effectue la division euclidienne de 268 par 21 :
| 608 | 2 | 608 = 25 × 19 |
| 304 | 2 | |
| 152 | 2 | |
| 76 | 2 | |
| 38 | 2 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 1760 | 2 | 1760 = 25 × 5 × 11 |
| 880 | 2 | |
| 440 | 2 | |
| 220 | 2 | |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où608 1760
=608:32 1760:32
=19 55
6825 : { 1; 3; 5; 7; 13; 15; 21; 25; 35; 39; 65; 75; 91; 105; 175; 195; 273; 325; 455; 525; 975; 1365; 2275; 6825 }
512 : { 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512 }
{ 1 }
PGCD(6825;512) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6825 et 512 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6825 512
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un aquaculteur élève 75 petits bénitiers et 175 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
75 = 3 × 25, mais 175 = 3 × 58 + 1 : le reste n'est pas nul, 175 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 lots (tous les grands bénitiers ne seraient pas utilisés).
75 = 5 × 15 et 175 = 5 × 35 : 75 et 175 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 lots (15 petits bénitiers et 35 grands bénitiers dans chaque lot).
| 175 | 5 | 175 = 52 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 75 et 175 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 75 et 175.
75 = 3 × 52 et 175 = 52 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(75;175) = 52 = 25.
On pourra constituer au maximum 25 lots.
75 ÷ 25 = 3 et 175 ÷ 25 = 7.
Chaque lot contiendra 3 petits bénitiers et 7 grands bénitiers.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 340 s et un pilote amateur en 136 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
340 = 1 × 340 : le professionnel a fait exactement 1 tour et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
340 = 136 × 2 + 68 : le reste n'est pas nul, 340 n'est pas un multiple de 136.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 2 tours et 68 s.
| 340 | 2 | 340 = 22 × 5 × 17 |
| 170 | 2 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 136 | 2 | 136 = 23 × 17 |
| 68 | 2 | |
| 34 | 2 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 340 s (aux multiples de 340), et l'amateur toutes les 136 s (aux multiples de 136). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 340 et 136 : la première fois, au bout du PPCM de 340 et 136.
340 = 22 × 5 × 17 et 136 = 23 × 17
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(340;136) = 23 × 5 × 17 = 680.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 680 s, soit 11 min 20 s.
680 ÷ 340 = 2 et 680 ÷ 136 = 5.
Le professionnel aura fait 2 tours et l'amateur 5 tours.
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