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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 969 et 321 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 314 ?
Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 388 ?
1755 3248
424 896
Un DJ a sélectionné 90 titres de rap et 150 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Un engrenage est composé d'une roue A de 20 dents et d'une roue B de 8 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 969 et 321 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 969 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 321 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 314 ?
On effectue la division euclidienne de 314 par 16 :
Quel est le plus petit multiple de 17 supérieur à 388 ?
On effectue la division euclidienne de 388 par 17 :
| 1755 | 3 | 1755 = 33 × 5 × 13 |
| 585 | 3 | |
| 195 | 3 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 3248 | 2 | 3248 = 24 × 7 × 29 |
| 1624 | 2 | |
| 812 | 2 | |
| 406 | 2 | |
| 203 | 7 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
1755 3248
est irréductible.424 : { 1; 2; 4; 8; 53; 106; 212; 424 }
896 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 16; 28; 32; 56; 64; 112; 128; 224; 448; 896 }
{ 1; 2; 4; 8 }
PGCD(424;896) = 8
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où424 896
=424:8 896:8
=53 112
Un DJ a sélectionné 90 titres de rap et 150 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
90 = 5 × 18 et 150 = 5 × 30 : 90 et 150 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 playlists (18 titres de rap et 30 titres d'électro dans chaque playlist).
90 = 9 × 10, mais 150 = 9 × 16 + 6 : le reste n'est pas nul, 150 n'est pas divisible par 9.
On ne peut pas constituer 9 playlists (tous les titres d'électro ne seraient pas utilisés).
| 150 | 2 | 150 = 2 × 3 × 52 |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 90 et 150 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 90 et 150.
90 = 2 × 32 × 5 et 150 = 2 × 3 × 52
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(90;150) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 playlists.
90 ÷ 30 = 3 et 150 ÷ 30 = 5.
Chaque playlist contiendra 3 titres de rap et 5 titres d'électro.
Un engrenage est composé d'une roue A de 20 dents et d'une roue B de 8 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 20 = 20 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 20 = 8 × 2 + 4 : le reste n'est pas nul, 20 n'est pas un multiple de 8.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 8 | 2 | 8 = 23 |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 20 et 8 : la première fois, au PPCM.
20 = 22 × 5 et 8 = 23
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(20;8) = 23 × 5 = 40.
Il passe 40 dents au point de contact, soit 40 ÷ 20 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
40 ÷ 8 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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