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« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 736 et 3591 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   736 / 3591

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 52 et 441.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 52 et 441.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   52 / 441

Un collectionneur de coquillages possède 76 cônes et 418 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de cônes.
• Tous les lots contiennent le même nombre de porcelaines.
• Tous les coquillages sont vendus.

1. Peut-on constituer 22 lots ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 76 est 2² × 19.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 418 ?
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 64 s et Hugo en 288 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 256 s, Léa est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas d'Hugo ?
2. Décompose 64 et 288 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 677 par 21 :

• 677 = 21 × 32 + 5 et 5 < 21
• 677 = 672 + 5
• donc 672 < 677 < 693 (672 + 21)

On effectue la division euclidienne de 576 par 21 :

• 576 = 21 × 27 + 9 et 9 < 21
• 576 = 567 + 9
• donc 567 < 576 < 588 (567 + 21)

1. Décompositions :
   736 = 2⁵ × 23
   3591 = 3³ × 7 × 19
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(736;3591) = 2⁵ × 3³ × 7 × 19 × 23 = 2642976
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(736,3591) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 736 et 3591 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   736 / 3591

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   52 : { 1; 2; 4; 13; 26; 52 }
   441 : { 1; 3; 7; 9; 21; 49; 63; 147; 441 }

2. Les diviseurs communs de 52 et 441 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 52 et 441 est :

   PGCD(52;441) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 52 et 441 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   52 / 441

   est irréductible.

Un collectionneur de coquillages possède 76 cônes et 418 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.

• Tous les lots contiennent le même nombre de cônes.
• Tous les lots contiennent le même nombre de porcelaines.
• Tous les coquillages sont vendus.

1. Peut-on constituer 22 lots ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 76 est 2² × 19.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 418 ?
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   418 = 22 × 19, mais 76 = 22 × 3 + 10 : le reste n'est pas nul, 76 n'est pas divisible par 22.
   On ne peut pas constituer 22 lots (tous les cônes ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 76 = 2² × 19.
   Décomposition de 418 :

   418	2	418 = 2 × 11 × 19
   209	11
   19	19
   1

3. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 76 et 418 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 76 et 418.

   76 = 2² × 19 et 418 = 2 × 11 × 19
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(76;418) = 2 × 19 = 38.
   On pourra constituer au maximum 38 lots.

4. Composition de chaque lot :

   76 ÷ 38 = 2 et 418 ÷ 38 = 11.
   Chaque lot contiendra 2 cônes et 11 porcelaines.

Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 64 s et Hugo en 288 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 256 s, Léa est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas d'Hugo ?
2. Décompose 64 et 288 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

1. Au bout de 256 s :

   256 = 4 × 64 : Léa a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
   256 = 288 × 0 + 256 : le reste n'est pas nul, 256 n'est pas un multiple de 288.
   Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 0 tour et 256 s.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 64 :

   64	2	64 = 26
   32	2
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

   Décomposition de 288 :

   288	2	288 = 25 × 32
   144	2
   72	2
   36	2
   18	2
   9	3
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Léa passe sur la ligne de départ toutes les 64 s (aux multiples de 64), et Hugo toutes les 288 s (aux multiples de 288). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 64 et 288 : la première fois, au bout du PPCM de 64 et 288.

   64 = 2⁶ et 288 = 2⁵ × 3²
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(64;288) = 2⁶ × 3² = 576.
   Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 576 s, soit 9 min 36 s.

4. Nombre de tours :

   576 ÷ 64 = 9 et 576 ÷ 288 = 2.
   Léa aura fait 9 tours et Hugo 2 tours.