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Un mathématicien est une machine à transformer du café en théorèmes
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 314 et 838 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 62 ?
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 223 ?
15925 11664
512 164
Un pâtissier a fabriqué 75 chocolats et 275 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 189 s et Yanis en 126 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 314 et 838 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 314 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 838 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 5 inférieur à 62 ?
On effectue la division euclidienne de 62 par 5 :
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 223 ?
On effectue la division euclidienne de 223 par 20 :
| 15925 | 5 | 15925 = 52 × 72 × 13 |
| 3185 | 5 | |
| 637 | 7 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 11664 | 2 | 11664 = 24 × 36 |
| 5832 | 2 | |
| 2916 | 2 | |
| 1458 | 2 | |
| 729 | 3 | |
| 243 | 3 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
15925 11664
est irréductible.512 : { 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512 }
164 : { 1; 2; 4; 41; 82; 164 }
{ 1; 2; 4 }
PGCD(512;164) = 4
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où512 164
=512:4 164:4
=128 41
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un pâtissier a fabriqué 75 chocolats et 275 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
275 = 11 × 25, mais 75 = 11 × 6 + 9 : le reste n'est pas nul, 75 n'est pas divisible par 11.
On ne peut pas constituer 11 boîtes (tous les chocolats ne seraient pas utilisés).
75 = 5 × 15 et 275 = 5 × 55 : 75 et 275 sont tous les deux divisibles par 5.
On peut constituer 5 boîtes (15 chocolats et 55 biscuits dans chaque boîte).
| 75 | 3 | 75 = 3 × 52 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 275 | 5 | 275 = 52 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 75 et 275 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 75 et 275.
75 = 3 × 52 et 275 = 52 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(75;275) = 52 = 25.
On pourra constituer au maximum 25 boîtes.
75 ÷ 25 = 3 et 275 ÷ 25 = 11.
Chaque boîte contiendra 3 chocolats et 11 biscuits.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 189 s et Yanis en 126 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
189 = 1 × 189 : Inès a fait exactement 1 tour et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
189 = 126 × 1 + 63 : le reste n'est pas nul, 189 n'est pas un multiple de 126.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 1 tour et 63 s.
| 189 | 3 | 189 = 33 × 7 |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 126 | 2 | 126 = 2 × 32 × 7 |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 189 s (aux multiples de 189), et Yanis toutes les 126 s (aux multiples de 126). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 189 et 126 : la première fois, au bout du PPCM de 189 et 126.
189 = 33 × 7 et 126 = 2 × 32 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(189;126) = 2 × 33 × 7 = 378.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 378 s, soit 6 min 18 s.
378 ÷ 189 = 2 et 378 ÷ 126 = 3.
Inès aura fait 2 tours et Yanis 3 tours.
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