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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 605 et 827 par deux multiples consécutifs de 15.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 319 ?
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 357 ?
13392 14720
2156 2025
À la fin d'une collecte, une association a récolté 44 tee-shirts et 154 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Un engrenage est composé d'une roue A de 10 dents et d'une roue B de 8 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 605 et 827 par deux multiples consécutifs de 15.
On effectue la division euclidienne de 605 par 15 :
On effectue la division euclidienne de 827 par 15 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 319 ?
On effectue la division euclidienne de 319 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 357 ?
On effectue la division euclidienne de 357 par 23 :
| 13392 | 2 | 13392 = 24 × 33 × 31 |
| 6696 | 2 | |
| 3348 | 2 | |
| 1674 | 2 | |
| 837 | 3 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 14720 | 2 | 14720 = 27 × 5 × 23 |
| 7360 | 2 | |
| 3680 | 2 | |
| 1840 | 2 | |
| 920 | 2 | |
| 460 | 2 | |
| 230 | 2 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où13392 14720
=13392:16 14720:16
=837 920
2156 : { 1; 2; 4; 7; 11; 14; 22; 28; 44; 49; 77; 98; 154; 196; 308; 539; 1078; 2156 }
2025 : { 1; 3; 5; 9; 15; 25; 27; 45; 75; 81; 135; 225; 405; 675; 2025 }
{ 1 }
PGCD(2156;2025) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2156 et 2025 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2156 2025
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 44 tee-shirts et 154 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
44 = 2 × 22 et 154 = 2 × 77 : 44 et 154 sont tous les deux divisibles par 2.
On peut constituer 2 lots (22 tee-shirts et 77 pantalons dans chaque lot).
154 = 7 × 22, mais 44 = 7 × 6 + 2 : le reste n'est pas nul, 44 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 lots (tous les tee-shirts ne seraient pas utilisés).
| 44 | 2 | 44 = 22 × 11 |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 154 | 2 | 154 = 2 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 44 et 154 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 44 et 154.
44 = 22 × 11 et 154 = 2 × 7 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(44;154) = 2 × 11 = 22.
On pourra constituer au maximum 22 lots.
44 ÷ 22 = 2 et 154 ÷ 22 = 7.
Chaque lot contiendra 2 tee-shirts et 7 pantalons.
Un engrenage est composé d'une roue A de 10 dents et d'une roue B de 8 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 10 = 30 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 30 = 8 × 3 + 6 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 8.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 10 | 2 | 10 = 2 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 8 | 2 | 8 = 23 |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 10 et 8 : la première fois, au PPCM.
10 = 2 × 5 et 8 = 23
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(10;8) = 23 × 5 = 40.
Il passe 40 dents au point de contact, soit 40 ÷ 10 = 4 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 4 tours de la roue A.
40 ÷ 8 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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