site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 2000 et 4160 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   2000 / 4160

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 425 et 174.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 425 et 174.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   425 / 174

Une fleuriste a reçu 48 roses et 72 tulipes. Elle veut composer des bouquets.

• Tous les bouquets contiennent le même nombre de roses.
• Tous les bouquets contiennent le même nombre de tulipes.
• Toutes les fleurs sont utilisées.

1. Peut-on constituer 16 bouquets ?
2. Décompose 48 et 72 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de bouquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 14 secondes, le phare B toutes les 35 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 42 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 14 et 35 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

On effectue la division euclidienne de 443 par 19 :

• 443 = 19 × 23 + 6 et 6 < 19
• 443 = 437 + 6
• donc 437 < 443 < 456 (437 + 19)

On effectue la division euclidienne de 865 par 19 :

• 865 = 19 × 45 + 10 et 10 < 19
• 865 = 855 + 10
• donc 855 < 865 < 874 (855 + 19)

1. Décompositions :
   2000 = 2⁴ × 5³
   4160 = 2⁶ × 5 × 13
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(2000;4160) = 2⁶ × 5³ × 13 = 104000
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(2000;4160) = 2⁴ × 5 = 80
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   2000 / 4160

   =

   2000:80 / 4160:80

   =

   25 / 52

1. Les diviseurs :

   425 : { 1; 5; 17; 25; 85; 425 }
   174 : { 1; 2; 3; 6; 29; 58; 87; 174 }

2. Les diviseurs communs de 425 et 174 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 425 et 174 est :

   PGCD(425;174) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 425 et 174 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   425 / 174

   est irréductible.

Une fleuriste a reçu 48 roses et 72 tulipes. Elle veut composer des bouquets.

• Tous les bouquets contiennent le même nombre de roses.
• Tous les bouquets contiennent le même nombre de tulipes.
• Toutes les fleurs sont utilisées.

1. Peut-on constituer 16 bouquets ?
2. Décompose 48 et 72 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de bouquets pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?

1. Nombre de bouquets :

   48 = 16 × 3, mais 72 = 16 × 4 + 8 : le reste n'est pas nul, 72 n'est pas divisible par 16.
   On ne peut pas constituer 16 bouquets (tous les tulipes ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 48 :

   48	2	48 = 24 × 3
   24	2
   12	2
   6	2
   3	3
   1

   Décomposition de 72 :

   72	2	72 = 23 × 32
   36	2
   18	2
   9	3
   3	3
   1

3. Nombre maximal de bouquets :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de bouquets doit diviser à la fois 48 et 72 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 48 et 72.

   48 = 2⁴ × 3 et 72 = 2³ × 3²
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(48;72) = 2³ × 3 = 24.
   On pourra constituer au maximum 24 bouquets.

4. Composition de chaque bouquet :

   48 ÷ 24 = 2 et 72 ÷ 24 = 3.
   Chaque bouquet contiendra 2 roses et 3 tulipes.

Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes les 14 secondes, le phare B toutes les 35 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.

1. Explique pourquoi le phare A émet un éclat 42 s après minuit. Le phare B en émet-il un aussi à cet instant ?
2. Décompose 14 et 35 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps les deux phares émettront-ils de nouveau un éclat en même temps pour la première fois ?
4. Combien d'éclats chaque phare aura-t-il émis pendant ce temps (sans compter celui de minuit) ?

1. À 42 s :

   42 = 3 × 14 : c'est un multiple de 14, le phare A émet donc un éclat (son 3^e depuis minuit).
   42 = 35 × 1 + 7 : le reste n'est pas nul, 42 n'est pas un multiple de 35.
   Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 14 :

   14	2	14 = 2 × 7
   7	7
   1

   Décomposition de 35 :

   35	5	35 = 5 × 7
   7	7
   1

3. Première rencontre :

   Le phare A émet un éclat aux multiples de 14 s, le phare B aux multiples de 35 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 14 et 35 : la première fois, au bout du PPCM.

   14 = 2 × 7 et 35 = 5 × 7
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(14;35) = 2 × 5 × 7 = 70.
   Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 70 s, soit 1 min 10 s.

4. Nombre de tours :

   70 ÷ 14 = 5 et 70 ÷ 35 = 2.
   Le phare A aura émis 5 éclats et le phare B 2 éclats.