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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 248 et 521 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 151 ?
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 91 ?
816 1280
1540 1053
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 40 bonbons à la fraise et de 220 bonbons au caramel.
Un engrenage est composé d'une roue A de 25 dents et d'une roue B de 10 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 248 et 521 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 248 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 521 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 151 ?
On effectue la division euclidienne de 151 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 91 ?
On effectue la division euclidienne de 91 par 10 :
| 816 | 2 | 816 = 24 × 3 × 17 |
| 408 | 2 | |
| 204 | 2 | |
| 102 | 2 | |
| 51 | 3 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 1280 | 2 | 1280 = 28 × 5 |
| 640 | 2 | |
| 320 | 2 | |
| 160 | 2 | |
| 80 | 2 | |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où816 1280
=816:16 1280:16
=51 80
1540 : { 1; 2; 4; 5; 7; 10; 11; 14; 20; 22; 28; 35; 44; 55; 70; 77; 110; 140; 154; 220; 308; 385; 770; 1540 }
1053 : { 1; 3; 9; 13; 27; 39; 81; 117; 351; 1053 }
{ 1 }
PGCD(1540;1053) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1540 et 1053 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1540 1053
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 40 bonbons à la fraise et de 220 bonbons au caramel.
220 = 44 × 5, mais 40 = 44 × 0 + 40 : le reste n'est pas nul, 40 n'est pas divisible par 44.
On ne peut pas constituer 44 sachets (tous les bonbons à la fraise ne seraient pas utilisés).
| 40 | 2 | 40 = 23 × 5 |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 220 | 2 | 220 = 22 × 5 × 11 |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 40 et 220 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 40 et 220.
40 = 23 × 5 et 220 = 22 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(40;220) = 22 × 5 = 20.
On pourra constituer au maximum 20 sachets.
40 ÷ 20 = 2 et 220 ÷ 20 = 11.
Chaque sachet contiendra 2 bonbons à la fraise et 11 bonbons au caramel.
Un engrenage est composé d'une roue A de 25 dents et d'une roue B de 10 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 25 = 25 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 25 = 10 × 2 + 5 : le reste n'est pas nul, 25 n'est pas un multiple de 10.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 25 | 5 | 25 = 52 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 10 | 2 | 10 = 2 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 25 et 10 : la première fois, au PPCM.
25 = 52 et 10 = 2 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(25;10) = 2 × 52 = 50.
Il passe 50 dents au point de contact, soit 50 ÷ 25 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
50 ÷ 10 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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