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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 322 et 358 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 293 ?
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 418 ?
1377 4802
50 154
Une fleuriste a reçu 180 roses et 220 tulipes. Elle veut composer des bouquets.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 30 secondes, le phare B toutes les 18 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 322 et 358 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 322 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 358 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 293 ?
On effectue la division euclidienne de 293 par 20 :
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 418 ?
On effectue la division euclidienne de 418 par 20 :
| 1377 | 3 | 1377 = 34 × 17 |
| 459 | 3 | |
| 153 | 3 | |
| 51 | 3 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 4802 | 2 | 4802 = 2 × 74 |
| 2401 | 7 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
1377 4802
est irréductible.50 : { 1; 2; 5; 10; 25; 50 }
154 : { 1; 2; 7; 11; 14; 22; 77; 154 }
{ 1; 2 }
PGCD(50;154) = 2
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où50 154
=50:2 154:2
=25 77
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une fleuriste a reçu 180 roses et 220 tulipes. Elle veut composer des bouquets.
220 = 22 × 10, mais 180 = 22 × 8 + 4 : le reste n'est pas nul, 180 n'est pas divisible par 22.
On ne peut pas constituer 22 bouquets (tous les roses ne seraient pas utilisés).
180 = 2 × 90 et 220 = 2 × 110 : 180 et 220 sont tous les deux divisibles par 2.
On peut constituer 2 bouquets (90 roses et 110 tulipes dans chaque bouquet).
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 220 | 2 | 220 = 22 × 5 × 11 |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de bouquets doit diviser à la fois 180 et 220 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 180 et 220.
180 = 22 × 32 × 5 et 220 = 22 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(180;220) = 22 × 5 = 20.
On pourra constituer au maximum 20 bouquets.
180 ÷ 20 = 9 et 220 ÷ 20 = 11.
Chaque bouquet contiendra 9 roses et 11 tulipes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 30 secondes, le phare B toutes les 18 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
60 = 2 × 30 : c'est un multiple de 30, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
60 = 18 × 3 + 6 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 18.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 30 s, le phare B aux multiples de 18 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 30 et 18 : la première fois, au bout du PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 18 = 2 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;18) = 2 × 32 × 5 = 90.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 90 s, soit 1 min 30 s.
90 ÷ 30 = 3 et 90 ÷ 18 = 5.
Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 5 éclats.
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