site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 3520 et 8379 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   3520 / 8379

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 48 et 724.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 48 et 724.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   48 / 724

Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 105 dragées blanches et 252 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.

• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées blanches.
• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées roses.
• Toutes les dragées sont utilisées.

1. Peut-on constituer 7 ballotins ? Et Peut-on constituer 35 ballotins ?
2. Décompose 105 et 252 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de ballotins pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque ballotin ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 09. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 18 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 15) ?

On effectue la division euclidienne de 645 par 23 :

• 645 = 23 × 28 + 1 et 1 < 23
• 645 = 644 + 1
• donc 644 < 645 < 667 (644 + 23)

On effectue la division euclidienne de 369 par 23 :

• 369 = 23 × 16 + 1 et 1 < 23
• 369 = 368 + 1
• donc 368 < 369 < 391 (368 + 23)

1. Décompositions :
   3520 = 2⁶ × 5 × 11
   8379 = 3² × 7² × 19
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(3520;8379) = 2⁶ × 3² × 5 × 7² × 11 × 19 = 29494080
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(3520,8379) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 3520 et 8379 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   3520 / 8379

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   48 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48 }
   724 : { 1; 2; 4; 181; 362; 724 }

2. Les diviseurs communs de 48 et 724 sont :

   { 1; 2; 4 }

3. Le plus grand diviseur commun de 48 et 724 est :

   PGCD(48;724) = 4

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   48 / 724

   =

   48:4 / 724:4

   =

   12 / 181

Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 105 dragées blanches et 252 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.

• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées blanches.
• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées roses.
• Toutes les dragées sont utilisées.

1. Peut-on constituer 7 ballotins ? Et Peut-on constituer 35 ballotins ?
2. Décompose 105 et 252 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de ballotins pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque ballotin ?

1. Nombre de ballotins :

   105 = 7 × 15 et 252 = 7 × 36 : 105 et 252 sont tous les deux divisibles par 7.
   On peut constituer 7 ballotins (15 dragées blanches et 36 dragées roses dans chaque ballotin).

   105 = 35 × 3, mais 252 = 35 × 7 + 7 : le reste n'est pas nul, 252 n'est pas divisible par 35.
   On ne peut pas constituer 35 ballotins (tous les dragées roses ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 105 :

   105	3	105 = 3 × 5 × 7
   35	5
   7	7
   1

   Décomposition de 252 :

   252	2	252 = 22 × 32 × 7
   126	2
   63	3
   21	3
   7	7
   1

3. Nombre maximal de ballotins :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 105 et 252 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 105 et 252.

   105 = 3 × 5 × 7 et 252 = 2² × 3² × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(105;252) = 3 × 7 = 21.
   On pourra constituer au maximum 21 ballotins.

4. Composition de chaque ballotin :

   105 ÷ 21 = 5 et 252 ÷ 21 = 12.
   Chaque ballotin contiendra 5 dragées blanches et 12 dragées roses.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 24 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 8 h 09. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 18 et 24 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 7 h 15) ?

1. À 8 h 09 :

   De 7 h 15 à 8 h 09, il s'écoule 54 min, et 54 = 3 × 18 : c'est un multiple de 18, donc un bus de la ligne A part à 8 h 09.
   54 = 24 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 54 n'est pas un multiple de 24.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 8 h 09.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 18 :

   18	2	18 = 2 × 32
   9	3
   3	3
   1

   Décomposition de 24 :

   24	2	24 = 23 × 3
   12	2
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 18 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 24 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 18 et 24 : la première fois, au bout du PPCM.

   18 = 2 × 3² et 24 = 2³ × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(18;24) = 2³ × 3² = 72.
   Ils repartiront ensemble 72 min après 7 h 15, soit 1 h 12 min plus tard : à 8 h 27.

4. Nombre de tours :

   72 ÷ 18 = 4 et 72 ÷ 24 = 3.
   4 bus de la ligne A et 3 bus de la ligne B seront partis.