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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 523 et 318 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 264 ?
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 196 ?
3213 4864
819 144
Une fleuriste a reçu 286 roses et 234 tulipes. Elle veut composer des bouquets.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 94 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 329 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 523 et 318 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 523 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 318 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 17 inférieur à 264 ?
On effectue la division euclidienne de 264 par 17 :
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 196 ?
On effectue la division euclidienne de 196 par 20 :
| 3213 | 3 | 3213 = 33 × 7 × 17 |
| 1071 | 3 | |
| 357 | 3 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 4864 | 2 | 4864 = 28 × 19 |
| 2432 | 2 | |
| 1216 | 2 | |
| 608 | 2 | |
| 304 | 2 | |
| 152 | 2 | |
| 76 | 2 | |
| 38 | 2 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
3213 4864
est irréductible.819 : { 1; 3; 7; 9; 13; 21; 39; 63; 91; 117; 273; 819 }
144 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144 }
{ 1; 3; 9 }
PGCD(819;144) = 9
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où819 144
=819:9 144:9
=91 16
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une fleuriste a reçu 286 roses et 234 tulipes. Elle veut composer des bouquets.
234 = 9 × 26, mais 286 = 9 × 31 + 7 : le reste n'est pas nul, 286 n'est pas divisible par 9.
On ne peut pas constituer 9 bouquets (tous les roses ne seraient pas utilisés).
286 = 2 × 143 et 234 = 2 × 117 : 286 et 234 sont tous les deux divisibles par 2.
On peut constituer 2 bouquets (143 roses et 117 tulipes dans chaque bouquet).
| 286 | 2 | 286 = 2 × 11 × 13 |
| 143 | 11 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 234 | 2 | 234 = 2 × 32 × 13 |
| 117 | 3 | |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de bouquets doit diviser à la fois 286 et 234 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 286 et 234.
286 = 2 × 11 × 13 et 234 = 2 × 32 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(286;234) = 2 × 13 = 26.
On pourra constituer au maximum 26 bouquets.
286 ÷ 26 = 11 et 234 ÷ 26 = 9.
Chaque bouquet contiendra 11 roses et 9 tulipes.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 94 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 329 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
188 = 2 × 94 : Camille a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
188 = 329 × 0 + 188 : le reste n'est pas nul, 188 n'est pas un multiple de 329.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 0 tour et 188 s.
| 94 | 2 | 94 = 2 × 47 |
| 47 | 47 | |
| 1 |
| 329 | 7 | 329 = 7 × 47 |
| 47 | 47 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 94 s (aux multiples de 94), et Dominique toutes les 329 s (aux multiples de 329). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 94 et 329 : la première fois, au bout du PPCM de 94 et 329.
94 = 2 × 47 et 329 = 7 × 47
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(94;329) = 2 × 7 × 47 = 658.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 658 s, soit 10 min 58 s.
658 ÷ 94 = 7 et 658 ÷ 329 = 2.
Camille aura fait 7 tours et Dominique 2 tours.
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