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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 733 et 702 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 198 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 184 ?
15876 6120
3969 1000
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 242 dragées blanches et 110 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 135 s et un pilote amateur en 180 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 733 et 702 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 733 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 702 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 198 ?
On effectue la division euclidienne de 198 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 184 ?
On effectue la division euclidienne de 184 par 11 :
| 15876 | 2 | 15876 = 22 × 34 × 72 |
| 7938 | 2 | |
| 3969 | 3 | |
| 1323 | 3 | |
| 441 | 3 | |
| 147 | 3 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 6120 | 2 | 6120 = 23 × 32 × 5 × 17 |
| 3060 | 2 | |
| 1530 | 2 | |
| 765 | 3 | |
| 255 | 3 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où15876 6120
=15876:36 6120:36
=441 170
3969 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 49; 63; 81; 147; 189; 441; 567; 1323; 3969 }
1000 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 125; 200; 250; 500; 1000 }
{ 1 }
PGCD(3969;1000) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 3969 et 1000 sont premiers entre eux.
Donc la fraction3969 1000
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 242 dragées blanches et 110 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
110 = 10 × 11, mais 242 = 10 × 24 + 2 : le reste n'est pas nul, 242 n'est pas divisible par 10.
On ne peut pas constituer 10 ballotins (tous les dragées blanches ne seraient pas utilisés).
| 242 | 2 | 242 = 2 × 112 |
| 121 | 11 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 110 | 2 | 110 = 2 × 5 × 11 |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 242 et 110 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 242 et 110.
242 = 2 × 112 et 110 = 2 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(242;110) = 2 × 11 = 22.
On pourra constituer au maximum 22 ballotins.
242 ÷ 22 = 11 et 110 ÷ 22 = 5.
Chaque ballotin contiendra 11 dragées blanches et 5 dragées roses.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 135 s et un pilote amateur en 180 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
405 = 3 × 135 : le professionnel a fait exactement 3 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
405 = 180 × 2 + 45 : le reste n'est pas nul, 405 n'est pas un multiple de 180.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 2 tours et 45 s.
| 135 | 3 | 135 = 33 × 5 |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 180 | 2 | 180 = 22 × 32 × 5 |
| 90 | 2 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 135 s (aux multiples de 135), et l'amateur toutes les 180 s (aux multiples de 180). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 135 et 180 : la première fois, au bout du PPCM de 135 et 180.
135 = 33 × 5 et 180 = 22 × 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(135;180) = 22 × 33 × 5 = 540.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 540 s, soit 9 min.
540 ÷ 135 = 4 et 540 ÷ 180 = 3.
Le professionnel aura fait 4 tours et l'amateur 3 tours.
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