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« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 504 et 14000 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   504 / 14000

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 4176 et 10625.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 4176 et 10625.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   4176 / 10625

Un maraîcher a récolté 128 salades et 224 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 14 paniers ?
2. Décompose 128 et 224 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 192 s et Hugo en 128 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 192 s, Léa est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas d'Hugo ?
2. Décompose 192 et 128 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 490 par 12 :

• 490 = 12 × 40 + 10 et 10 < 12
• 490 = 480 + 10
• donc 480 < 490 < 492 (480 + 12)

On effectue la division euclidienne de 824 par 12 :

• 824 = 12 × 68 + 8 et 8 < 12
• 824 = 816 + 8
• donc 816 < 824 < 828 (816 + 12)

1. Décompositions :
   504 = 2³ × 3² × 7
   14000 = 2⁴ × 5³ × 7
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(504;14000) = 2⁴ × 3² × 5³ × 7 = 126000
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(504;14000) = 2³ × 7 = 56
4. Simplification de la fraction :
   

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   504 / 14000

   =

   504:56 / 14000:56

   =

   9 / 250

1. Les diviseurs :

   4176 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 29; 36; 48; 58; 72; 87; 116; 144; 174; 232; 261; 348; 464; 522; 696; 1044; 1392; 2088; 4176 }
   10625 : { 1; 5; 17; 25; 85; 125; 425; 625; 2125; 10625 }

2. Les diviseurs communs de 4176 et 10625 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 4176 et 10625 est :

   PGCD(4176;10625) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4176 et 10625 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   4176 / 10625

   est irréductible.

Un maraîcher a récolté 128 salades et 224 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.

• Tous les paniers contiennent le même nombre de salades.
• Tous les paniers contiennent le même nombre de bottes de carottes.
• Tous les légumes sont utilisés.

1. Peut-on constituer 14 paniers ?
2. Décompose 128 et 224 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de paniers pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque panier ?

1. Nombre de paniers :

   224 = 14 × 16, mais 128 = 14 × 9 + 2 : le reste n'est pas nul, 128 n'est pas divisible par 14.
   On ne peut pas constituer 14 paniers (tous les salades ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 128 :

   128	2	128 = 27
   64	2
   32	2
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

   Décomposition de 224 :

   224	2	224 = 25 × 7
   112	2
   56	2
   28	2
   14	2
   7	7
   1

3. Nombre maximal de paniers :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 128 et 224 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 128 et 224.

   128 = 2⁷ et 224 = 2⁵ × 7
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(128;224) = 2⁵ = 32.
   On pourra constituer au maximum 32 paniers.

4. Composition de chaque panier :

   128 ÷ 32 = 4 et 224 ÷ 32 = 7.
   Chaque panier contiendra 4 salades et 7 bottes de carottes.

Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 192 s et Hugo en 128 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 192 s, Léa est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas d'Hugo ?
2. Décompose 192 et 128 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

1. Au bout de 192 s :

   192 = 1 × 192 : Léa a fait exactement 1 tour et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
   192 = 128 × 1 + 64 : le reste n'est pas nul, 192 n'est pas un multiple de 128.
   Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 1 tour et 64 s.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 192 :

   192	2	192 = 26 × 3
   96	2
   48	2
   24	2
   12	2
   6	2
   3	3
   1

   Décomposition de 128 :

   128	2	128 = 27
   64	2
   32	2
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

3. Première rencontre :

   Léa passe sur la ligne de départ toutes les 192 s (aux multiples de 192), et Hugo toutes les 128 s (aux multiples de 128). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 192 et 128 : la première fois, au bout du PPCM de 192 et 128.

   192 = 2⁶ × 3 et 128 = 2⁷
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(192;128) = 2⁷ × 3 = 384.
   Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 384 s, soit 6 min 24 s.

4. Nombre de tours :

   384 ÷ 192 = 2 et 384 ÷ 128 = 3.
   Léa aura fait 2 tours et Hugo 3 tours.