site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 3915 et 4864 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   3915 / 4864

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 752 et 258.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 752 et 258.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   752 / 258

Un chocolatier a confectionné 72 truffes au café et 198 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.

• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes au café.
• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes à la noix de coco.
• Toutes les truffes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 36 boîtes ?
2. Décompose 72 et 198 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque boîte ?

Un engrenage est composé d'une roue A de 35 dents et d'une roue B de 21 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.

1. Quand la roue A a fait 2 tours, combien de dents sont passées au point de contact ? L'engrenage est-il revenu dans sa position initiale ?
2. Décompose 35 et 21 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de tours de la roue A l'engrenage retrouvera-t-il pour la première fois sa position initiale ?
4. Combien de tours la roue B aura-t-elle alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 455 par 19 :

• 455 = 19 × 23 + 18 et 18 < 19
• 455 = 437 + 18
• donc 437 < 455 < 456 (437 + 19)

On effectue la division euclidienne de 186 par 19 :

• 186 = 19 × 9 + 15 et 15 < 19
• 186 = 171 + 15
• donc 171 < 186 < 190 (171 + 19)

1. Décompositions :
   3915 = 3³ × 5 × 29
   4864 = 2⁸ × 19
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(3915;4864) = 2⁸ × 3³ × 5 × 19 × 29 = 19042560
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(3915,4864) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 3915 et 4864 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   3915 / 4864

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   752 : { 1; 2; 4; 8; 16; 47; 94; 188; 376; 752 }
   258 : { 1; 2; 3; 6; 43; 86; 129; 258 }

2. Les diviseurs communs de 752 et 258 sont :

   { 1; 2 }

3. Le plus grand diviseur commun de 752 et 258 est :

   PGCD(752;258) = 2

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   752 / 258

   =

   752:2 / 258:2

   =

   376 / 129

Un chocolatier a confectionné 72 truffes au café et 198 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.

• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes au café.
• Toutes les boîtes contiennent le même nombre de truffes à la noix de coco.
• Toutes les truffes sont utilisées.

1. Peut-on constituer 36 boîtes ?
2. Décompose 72 et 198 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque boîte ?

1. Nombre de boîtes :

   72 = 36 × 2, mais 198 = 36 × 5 + 18 : le reste n'est pas nul, 198 n'est pas divisible par 36.
   On ne peut pas constituer 36 boîtes (tous les truffes à la noix de coco ne seraient pas utilisés).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 72 :

   72	2	72 = 23 × 32
   36	2
   18	2
   9	3
   3	3
   1

   Décomposition de 198 :

   198	2	198 = 2 × 32 × 11
   99	3
   33	3
   11	11
   1

3. Nombre maximal de boîtes :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 72 et 198 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 72 et 198.

   72 = 2³ × 3² et 198 = 2 × 3² × 11
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(72;198) = 2 × 3² = 18.
   On pourra constituer au maximum 18 boîtes.

4. Composition de chaque boîte :

   72 ÷ 18 = 4 et 198 ÷ 18 = 11.
   Chaque boîte contiendra 4 truffes au café et 11 truffes à la noix de coco.

Un engrenage est composé d'une roue A de 35 dents et d'une roue B de 21 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.

1. Quand la roue A a fait 2 tours, combien de dents sont passées au point de contact ? L'engrenage est-il revenu dans sa position initiale ?
2. Décompose 35 et 21 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de tours de la roue A l'engrenage retrouvera-t-il pour la première fois sa position initiale ?
4. Combien de tours la roue B aura-t-elle alors effectués ?

1. Après 2 tours de la roue A :

   Il est passé 2 × 35 = 70 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
   Pour la roue B : 70 = 21 × 3 + 7 : le reste n'est pas nul, 70 n'est pas un multiple de 21.
   La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours : l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 35 :

   35	5	35 = 5 × 7
   7	7
   1

   Décomposition de 21 :

   21	3	21 = 3 × 7
   7	7
   1

3. Première rencontre :

   Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 35 et 21 : la première fois, au PPCM.

   35 = 5 × 7 et 21 = 3 × 7
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(35;21) = 3 × 5 × 7 = 105.
   Il passe 105 dents au point de contact, soit 105 ÷ 35 = 3 tours de la roue A.
   L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.

4. Nombre de tours :

   105 ÷ 21 = 5.
   La roue B aura effectué 5 tours.