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Ce n'est pas parce que les choses sont difficiles que nous n'osons pas, c'est parce que nous n'osons pas qu'elles sont difficiles.
Sénèque
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 615 et 590 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 246 ?
Quel est le plus petit multiple de 12 supérieur à 104 ?
3864 5544
12495 496
Un maraîcher a cueilli 70 pommes et 42 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 30 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 12 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 615 et 590 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 615 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 590 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 246 ?
On effectue la division euclidienne de 246 par 21 :
Quel est le plus petit multiple de 12 supérieur à 104 ?
On effectue la division euclidienne de 104 par 12 :
| 3864 | 2 | 3864 = 23 × 3 × 7 × 23 |
| 1932 | 2 | |
| 966 | 2 | |
| 483 | 3 | |
| 161 | 7 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 5544 | 2 | 5544 = 23 × 32 × 7 × 11 |
| 2772 | 2 | |
| 1386 | 2 | |
| 693 | 3 | |
| 231 | 3 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où3864 5544
=3864:168 5544:168
=23 33
12495 : { 1; 3; 5; 7; 15; 17; 21; 35; 49; 51; 85; 105; 119; 147; 245; 255; 357; 595; 735; 833; 1785; 2499; 4165; 12495 }
496 : { 1; 2; 4; 8; 16; 31; 62; 124; 248; 496 }
{ 1 }
PGCD(12495;496) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 12495 et 496 sont premiers entre eux.
Donc la fraction12495 496
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 70 pommes et 42 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
42 = 42 × 1, mais 70 = 42 × 1 + 28 : le reste n'est pas nul, 70 n'est pas divisible par 42.
On ne peut pas constituer 42 sacs (tous les pommes ne seraient pas utilisés).
| 70 | 2 | 70 = 2 × 5 × 7 |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 42 | 2 | 42 = 2 × 3 × 7 |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 70 et 42 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 70 et 42.
70 = 2 × 5 × 7 et 42 = 2 × 3 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(70;42) = 2 × 7 = 14.
On pourra constituer au maximum 14 sacs.
70 ÷ 14 = 5 et 42 ÷ 14 = 3.
Chaque sac contiendra 5 pommes et 3 poires.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 30 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 12 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 7 h 45, il s'écoule 30 min, et 30 = 1 × 30 :
c'est un multiple de 30, donc un bus de la ligne A part à 7 h 45.
30 = 12 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 12.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 45.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 30 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 12 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 30 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;12) = 22 × 3 × 5 = 60.
Ils repartiront ensemble 60 min après 7 h 15, soit 1 h plus tard : à 8 h 15.
60 ÷ 30 = 2 et 60 ÷ 12 = 5.
2 bus de la ligne A et 5 bus de la ligne B seront partis.
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