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« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 2176 et 8125 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   2176 / 8125

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 856 et 18.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 856 et 18.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   856 / 18

Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 330 dragées blanches et 90 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.

• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées blanches.
• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées roses.
• Toutes les dragées sont utilisées.

1. Peut-on constituer 11 ballotins ? Et Peut-on constituer 2 ballotins ?
2. Décompose 330 et 90 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de ballotins pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque ballotin ?

Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 256 s et Hugo en 320 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 1024 s, Léa est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas d'Hugo ?
2. Décompose 256 et 320 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

On effectue la division euclidienne de 181 par 18 :

• 181 = 18 × 10 + 1 et 1 < 18
• 181 = 180 + 1
• donc 180 < 181 < 198 (180 + 18)

On effectue la division euclidienne de 989 par 18 :

• 989 = 18 × 54 + 17 et 17 < 18
• 989 = 972 + 17
• donc 972 < 989 < 990 (972 + 18)

1. Décompositions :
   2176 = 2⁷ × 17
   8125 = 5⁴ × 13
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(2176;8125) = 2⁷ × 5⁴ × 13 × 17 = 17680000
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(2176,8125) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2176 et 8125 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   2176 / 8125

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   856 : { 1; 2; 4; 8; 107; 214; 428; 856 }
   18 : { 1; 2; 3; 6; 9; 18 }

2. Les diviseurs communs de 856 et 18 sont :

   { 1; 2 }

3. Le plus grand diviseur commun de 856 et 18 est :

   PGCD(856;18) = 2

4. Simplification de la fraction :

   Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.

   d'où

   856 / 18

   =

   856:2 / 18:2

   =

   428 / 9

Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 330 dragées blanches et 90 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.

• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées blanches.
• Tous les ballotins contiennent le même nombre de dragées roses.
• Toutes les dragées sont utilisées.

1. Peut-on constituer 11 ballotins ? Et Peut-on constituer 2 ballotins ?
2. Décompose 330 et 90 en produit de facteurs premiers.
3. Quel nombre maximal de ballotins pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque ballotin ?

1. Nombre de ballotins :

   330 = 11 × 30, mais 90 = 11 × 8 + 2 : le reste n'est pas nul, 90 n'est pas divisible par 11.
   On ne peut pas constituer 11 ballotins (tous les dragées roses ne seraient pas utilisés).

   330 = 2 × 165 et 90 = 2 × 45 : 330 et 90 sont tous les deux divisibles par 2.
   On peut constituer 2 ballotins (165 dragées blanches et 45 dragées roses dans chaque ballotin).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 330 :

   330	2	330 = 2 × 3 × 5 × 11
   165	3
   55	5
   11	11
   1

   Décomposition de 90 :

   90	2	90 = 2 × 32 × 5
   45	3
   15	3
   5	5
   1

3. Nombre maximal de ballotins :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 330 et 90 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 330 et 90.

   330 = 2 × 3 × 5 × 11 et 90 = 2 × 3² × 5
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(330;90) = 2 × 3 × 5 = 30.
   On pourra constituer au maximum 30 ballotins.

4. Composition de chaque ballotin :

   330 ÷ 30 = 11 et 90 ÷ 30 = 3.
   Chaque ballotin contiendra 11 dragées blanches et 3 dragées roses.

Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 256 s et Hugo en 320 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.

1. Explique pourquoi, au bout de 1024 s, Léa est de nouveau sur la ligne de départ. Est-ce aussi le cas d'Hugo ?
2. Décompose 256 et 320 en produit de facteurs premiers.
3. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois ensemble sur la ligne de départ ? Donne la durée en minutes et secondes.
4. Combien de tours chacun aura-t-il alors effectués ?

1. Au bout de 1024 s :

   1024 = 4 × 256 : Léa a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
   1024 = 320 × 3 + 64 : le reste n'est pas nul, 1024 n'est pas un multiple de 320.
   Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 3 tours et 64 s.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 256 :

   256	2	256 = 28
   128	2
   64	2
   32	2
   16	2
   8	2
   4	2
   2	2
   1

   Décomposition de 320 :

   320	2	320 = 26 × 5
   160	2
   80	2
   40	2
   20	2
   10	2
   5	5
   1

3. Première rencontre :

   Léa passe sur la ligne de départ toutes les 256 s (aux multiples de 256), et Hugo toutes les 320 s (aux multiples de 320). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 256 et 320 : la première fois, au bout du PPCM de 256 et 320.

   256 = 2⁸ et 320 = 2⁶ × 5
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(256;320) = 2⁸ × 5 = 1280.
   Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1280 s, soit 21 min 20 s.

4. Nombre de tours :

   1280 ÷ 256 = 5 et 1280 ÷ 320 = 4.
   Léa aura fait 5 tours et Hugo 4 tours.