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Les mathématiciens manipulent parfois de grands nombres, mais jamais dans leurs revenus.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 537 et 94 par deux multiples consécutifs de 22.
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 594 ?
Quel est le plus petit multiple de 24 supérieur à 526 ?
8400 13230
2720 7203
À la fin d'une collecte, une association a récolté 104 tee-shirts et 182 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 12 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 15 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 537 et 94 par deux multiples consécutifs de 22.
On effectue la division euclidienne de 537 par 22 :
On effectue la division euclidienne de 94 par 22 :
Quel est le plus grand multiple de 26 inférieur à 594 ?
On effectue la division euclidienne de 594 par 26 :
Quel est le plus petit multiple de 24 supérieur à 526 ?
On effectue la division euclidienne de 526 par 24 :
| 8400 | 2 | 8400 = 24 × 3 × 52 × 7 |
| 4200 | 2 | |
| 2100 | 2 | |
| 1050 | 2 | |
| 525 | 3 | |
| 175 | 5 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 13230 | 2 | 13230 = 2 × 33 × 5 × 72 |
| 6615 | 3 | |
| 2205 | 3 | |
| 735 | 3 | |
| 245 | 5 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où8400 13230
=8400:210 13230:210
=40 63
2720 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 17; 20; 32; 34; 40; 68; 80; 85; 136; 160; 170; 272; 340; 544; 680; 1360; 2720 }
7203 : { 1; 3; 7; 21; 49; 147; 343; 1029; 2401; 7203 }
{ 1 }
PGCD(2720;7203) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2720 et 7203 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2720 7203
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 104 tee-shirts et 182 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
104 = 8 × 13, mais 182 = 8 × 22 + 6 : le reste n'est pas nul, 182 n'est pas divisible par 8.
On ne peut pas constituer 8 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).
| 104 | 2 | 104 = 23 × 13 |
| 52 | 2 | |
| 26 | 2 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 182 | 2 | 182 = 2 × 7 × 13 |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 104 et 182 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 104 et 182.
104 = 23 × 13 et 182 = 2 × 7 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(104;182) = 2 × 13 = 26.
On pourra constituer au maximum 26 lots.
104 ÷ 26 = 4 et 182 ÷ 26 = 7.
Chaque lot contiendra 4 tee-shirts et 7 pantalons.
À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 12 minutes
et ceux de la ligne B toutes les 15 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 7 h 15.
De 7 h 15 à 7 h 51, il s'écoule 36 min, et 36 = 3 × 12 :
c'est un multiple de 12, donc un bus de la ligne A part à 7 h 51.
36 = 15 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 36 n'est pas un multiple de 15.
Aucun bus de la ligne B ne part à 7 h 51.
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Les bus de la ligne A partent aux multiples de 12 min après 7 h 15, ceux de la ligne B aux multiples de 15 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 12 et 15 : la première fois, au bout du PPCM.
12 = 22 × 3 et 15 = 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(12;15) = 22 × 3 × 5 = 60.
Ils repartiront ensemble 60 min après 7 h 15, soit 1 h plus tard : à 8 h 15.
60 ÷ 12 = 5 et 60 ÷ 15 = 4.
5 bus de la ligne A et 4 bus de la ligne B seront partis.
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