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Si l'on y réfléchit bien, le Christ est le seul anarchiste qui ait vraiment réussi.
André Malraux
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 264 et 383 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 9 inférieur à 86 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 422 ?
1170 6160
12393 728
Une médiathèque se sépare de 56 DVD pour enfants et de 64 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 18 dents et d'une roue B de 45 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 264 et 383 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 264 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 383 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 9 inférieur à 86 ?
On effectue la division euclidienne de 86 par 9 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 422 ?
On effectue la division euclidienne de 422 par 18 :
| 1170 | 2 | 1170 = 2 × 32 × 5 × 13 |
| 585 | 3 | |
| 195 | 3 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 6160 | 2 | 6160 = 24 × 5 × 7 × 11 |
| 3080 | 2 | |
| 1540 | 2 | |
| 770 | 2 | |
| 385 | 5 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1170 6160
=1170:10 6160:10
=117 616
12393 : { 1; 3; 9; 17; 27; 51; 81; 153; 243; 459; 729; 1377; 4131; 12393 }
728 : { 1; 2; 4; 7; 8; 13; 14; 26; 28; 52; 56; 91; 104; 182; 364; 728 }
{ 1 }
PGCD(12393;728) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 12393 et 728 sont premiers entre eux.
Donc la fraction12393 728
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Une médiathèque se sépare de 56 DVD pour enfants et de 64 DVD de documentaires. Elle veut les vendre en lots.
56 = 7 × 8, mais 64 = 7 × 9 + 1 : le reste n'est pas nul, 64 n'est pas divisible par 7.
On ne peut pas constituer 7 lots (tous les DVD de documentaires ne seraient pas utilisés).
| 56 | 2 | 56 = 23 × 7 |
| 28 | 2 | |
| 14 | 2 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 64 | 2 | 64 = 26 |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 56 et 64 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 56 et 64.
Le plus grand des diviseurs communs est 8.
On pourra constituer au maximum 8 lots.
56 ÷ 8 = 7 et 64 ÷ 8 = 8.
Chaque lot contiendra 7 DVD pour enfants et 8 DVD de documentaires.
Un engrenage est composé d'une roue A de 18 dents et d'une roue B de 45 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 4 × 18 = 72 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 72 = 45 × 1 + 27 : le reste n'est pas nul, 72 n'est pas un multiple de 45.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 18 et 45 : la première fois, au PPCM.
18 = 2 × 32 et 45 = 32 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(18;45) = 2 × 32 × 5 = 90.
Il passe 90 dents au point de contact, soit 90 ÷ 18 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
90 ÷ 45 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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