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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 655 et 698 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 329 ?
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 34 ?
4500 8316
14625 12152
Un collectionneur de coquillages possède 240 cônes et 150 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 129 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 344 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 655 et 698 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 655 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 698 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 329 ?
On effectue la division euclidienne de 329 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 34 ?
On effectue la division euclidienne de 34 par 3 :
| 4500 | 2 | 4500 = 22 × 32 × 53 |
| 2250 | 2 | |
| 1125 | 3 | |
| 375 | 3 | |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 8316 | 2 | 8316 = 22 × 33 × 7 × 11 |
| 4158 | 2 | |
| 2079 | 3 | |
| 693 | 3 | |
| 231 | 3 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4500 8316
=4500:36 8316:36
=125 231
14625 : { 1; 3; 5; 9; 13; 15; 25; 39; 45; 65; 75; 117; 125; 195; 225; 325; 375; 585; 975; 1125; 1625; 2925; 4875; 14625 }
12152 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 31; 49; 56; 62; 98; 124; 196; 217; 248; 392; 434; 868; 1519; 1736; 3038; 6076; 12152 }
{ 1 }
PGCD(14625;12152) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 14625 et 12152 sont premiers entre eux.
Donc la fraction14625 12152
est irréductible.Un collectionneur de coquillages possède 240 cônes et 150 porcelaines. Il souhaite vendre toute sa collection en lots.
240 = 4 × 60, mais 150 = 4 × 37 + 2 : le reste n'est pas nul, 150 n'est pas divisible par 4.
On ne peut pas constituer 4 lots (tous les porcelaines ne seraient pas utilisés).
| 150 | 2 | 150 = 2 × 3 × 52 |
| 75 | 3 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 240 et 150 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 240 et 150.
240 = 24 × 3 × 5 et 150 = 2 × 3 × 52
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(240;150) = 2 × 3 × 5 = 30.
On pourra constituer au maximum 30 lots.
240 ÷ 30 = 8 et 150 ÷ 30 = 5.
Chaque lot contiendra 8 cônes et 5 porcelaines.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 129 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 344 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
645 = 5 × 129 : Camille a fait exactement 5 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
645 = 344 × 1 + 301 : le reste n'est pas nul, 645 n'est pas un multiple de 344.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 1 tour et 301 s.
| 129 | 3 | 129 = 3 × 43 |
| 43 | 43 | |
| 1 |
| 344 | 2 | 344 = 23 × 43 |
| 172 | 2 | |
| 86 | 2 | |
| 43 | 43 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 129 s (aux multiples de 129), et Dominique toutes les 344 s (aux multiples de 344). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 129 et 344 : la première fois, au bout du PPCM de 129 et 344.
129 = 3 × 43 et 344 = 23 × 43
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(129;344) = 23 × 3 × 43 = 1032.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1032 s, soit 17 min 12 s.
1032 ÷ 129 = 8 et 1032 ÷ 344 = 3.
Camille aura fait 8 tours et Dominique 3 tours.
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