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Le temps est un grand maître. Le malheur, c'est qu'il tue ses élèves.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 416 et 254 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 155 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 173 ?
8550 4704
297 470
Un maraîcher a récolté 360 salades et 108 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 318 s et un pilote amateur en 371 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 416 et 254 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 416 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 254 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 23 inférieur à 155 ?
On effectue la division euclidienne de 155 par 23 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 173 ?
On effectue la division euclidienne de 173 par 27 :
| 8550 | 2 | 8550 = 2 × 32 × 52 × 19 |
| 4275 | 3 | |
| 1425 | 3 | |
| 475 | 5 | |
| 95 | 5 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 4704 | 2 | 4704 = 25 × 3 × 72 |
| 2352 | 2 | |
| 1176 | 2 | |
| 588 | 2 | |
| 294 | 2 | |
| 147 | 3 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où8550 4704
=8550:6 4704:6
=1425 784
297 : { 1; 3; 9; 11; 27; 33; 99; 297 }
470 : { 1; 2; 5; 10; 47; 94; 235; 470 }
{ 1 }
PGCD(297;470) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 297 et 470 sont premiers entre eux.
Donc la fraction297 470
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a récolté 360 salades et 108 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
360 = 6 × 60 et 108 = 6 × 18 : 360 et 108 sont tous les deux divisibles par 6.
On peut constituer 6 paniers (60 salades et 18 bottes de carottes dans chaque panier).
360 = 30 × 12, mais 108 = 30 × 3 + 18 : le reste n'est pas nul, 108 n'est pas divisible par 30.
On ne peut pas constituer 30 paniers (tous les bottes de carottes ne seraient pas utilisés).
| 108 | 2 | 108 = 22 × 33 |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 360 et 108 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 360 et 108.
360 = 23 × 32 × 5 et 108 = 22 × 33
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(360;108) = 22 × 32 = 36.
On pourra constituer au maximum 36 paniers.
360 ÷ 36 = 10 et 108 ÷ 36 = 3.
Chaque panier contiendra 10 salades et 3 bottes de carottes.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 318 s et un pilote amateur en 371 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
1590 = 5 × 318 : le professionnel a fait exactement 5 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
1590 = 371 × 4 + 106 : le reste n'est pas nul, 1590 n'est pas un multiple de 371.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 4 tours et 106 s.
| 318 | 2 | 318 = 2 × 3 × 53 |
| 159 | 3 | |
| 53 | 53 | |
| 1 |
| 371 | 7 | 371 = 7 × 53 |
| 53 | 53 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 318 s (aux multiples de 318), et l'amateur toutes les 371 s (aux multiples de 371). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 318 et 371 : la première fois, au bout du PPCM de 318 et 371.
318 = 2 × 3 × 53 et 371 = 7 × 53
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(318;371) = 2 × 3 × 7 × 53 = 2226.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 2226 s, soit 37 min 6 s.
2226 ÷ 318 = 7 et 2226 ÷ 371 = 6.
Le professionnel aura fait 7 tours et l'amateur 6 tours.
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