Évaluations diagnostiques de mathématiques

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Comparer et ranger des nombres décimaux

3,15 > 3,7

La partie décimale est traitée comme un entier : 15 > 7, donc 3,15 gagne. C'est la règle des entiers appliquée telle quelle, « plus il y a de chiffres, plus c'est grand » — une généralisation cohérente, pas une inattention.

0,8 < 0,80 (au lieu de =)

Même racine : le zéro final est cru significatif. L'élève lit deux nombres entiers (8 et 80) de part et d'autre de la virgule, pas un nombre unique. Le signe = est proposé : ne pas le choisir est un choix, pas un oubli.

Les deux comparaisons justes, mais le rangement faux (5,09 placé après 5,19)

La procédure fonctionne sur deux nombres et lâche sur une série de quatre. Elle n'est pas automatisée : elle coûte encore de la mémoire de travail.

↳ Si la première erreur apparaît, inutile de multiplier les comparaisons : c'est le sens du décimal qu'il faut reprendre (droite graduée, fractions décimales, un même nombre écrit de plusieurs façons). L'entraînement ne vient qu'après.

Exercice 2 — Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

0 < 7/3 < 1

La fraction est crue toujours inférieure à 1. Généralisation abusive à partir des fractions de partage rencontrées au cycle 3, où le numérateur est toujours plus petit que le dénominateur.

7 < 7/3 < 8, ou 3 < 7/3 < 4

Un des deux termes est lu comme la valeur de la fraction. Le trait de fraction n'est pas encore compris comme une division.

Encadrement juste pour 9/4, faux pour 22/5

La division fonctionne tant que le quotient reste petit. C'est le calcul qui bloque, pas la notion.

↳ Faire placer les trois fractions sur une même droite graduée : l'encadrement se lit alors au lieu de se calculer, et les deux premières erreurs deviennent visibles pour l'élève lui-même.

Exercice 3 — Convertir des unités de longueur et de masse

2,5 m = 25 cm

Décalage d'un rang. Le tableau de conversion est récité de mémoire, sans appui sur les relations entre unités.

340 g = 3,40 kg

La virgule est déplacée sans contrôle du sens : le résultat devrait être plus petit que 340, il est plus grand. L'ordre de grandeur n'est pas interrogé.

Les deux conversions « vers le petit » réussies, les deux autres échouées

Le sens de la conversion n'est pas décidé avant de calculer. L'élève applique toujours la même opération.

↳ Avant tout calcul, faire dire si le nombre attendu sera plus grand ou plus petit. Ce seul réflexe élimine la deuxième et la troisième erreur.

Exercice 4 — Résoudre un problème à plusieurs étapes

Seule la question 1 est traitée, la suite est laissée en blanc

La lecture s'arrête à la première donnée exploitable. Ce n'est pas un manque de technique : c'est l'enchaînement des étapes qui n'est pas engagé.

4 × 25 × 18,50

Toutes les données sont combinées en un seul calcul, sans distinguer ce qu'on compte (des compas) de ce qu'on paie (des boîtes). Erreur de modélisation, pas de calcul — et le calcul lui-même est souvent juste.

74 € trouvé, puis « oui » sans justification

Le calcul est mené jusqu'au bout mais la conclusion n'est pas rédigée. La question 3 demandait explicitement de justifier.

↳ Distinguer « sait calculer » de « sait choisir le calcul ». Un élève qui réussit les exercices 1 à 3 et bloque ici n'a pas besoin de plus d'automatismes : il a besoin de problèmes.

Exercice 5 — Lire et interpréter un graphique

« 65 » ou « 75 » pour novembre

La valeur est estimée à vue plutôt que lue sur les graduations. La barre est perçue comme une image, pas comme un repérage.

Décembre et septembre intervertis à la question 2

Confusion entre « le moins » et « le plus », ou lecture de la barre la plus à gauche. À distinguer d'une erreur de lecture : ici c'est la question qui n'a pas été lue.

Les questions 1 et 2 justes, la 3 fausse ou vide

Lire une valeur est acquis, exploiter l'ensemble des données ne l'est pas. C'est la distinction la plus utile de cet exercice.

↳ Les deux premières questions relèvent du prélèvement, la troisième du traitement. Une réussite partielle situe précisément où s'arrête l'élève.

Exercice 6 — Repérer une erreur et la justifier

« C'est faux » sans localiser la ligne

L'élève sent que quelque chose ne va pas mais ne sait pas le dire. Le contrôle existe, le langage pour l'exprimer manque.

La ligne est bien repérée, mais l'explication consiste à redonner la bonne règle

L'élève sait comparer, il ne sait pas encore expliquer pourquoi l'autre procédure échoue. C'est un niveau d'argumentation, pas un manque de connaissance : c'est déjà une réussite partielle.

Le raisonnement de la copie est validé

L'erreur de l'exercice 1 n'était pas un accident : la règle fausse est stabilisée. C'est l'information la plus importante de la feuille.

↳ Cet exercice ne se rattrape pas par de l'entraînement. Ce qu'il produit est un indice sur les représentations, à croiser avec l'exercice 1.

Croiser l'exercice 1 et l'exercice 6

Les deux exercices portent sur la même comparaison. Ce n'est pas une redite : le premier demande de faire, le second de juger. Le tableau se lit en deux entrées.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Respecter les priorités opératoires

A = 45

Calcul de gauche à droite : (7 + 2) puis × 5. La multiplication n'est pas prioritaire. C'est une règle concurrente cohérente, pas une inattention.

A et B donnent le même résultat

Les parenthèses ne sont pas lues. Plus grave que l'erreur précédente : il n'y a pas de règle fausse, il n'y a pas de règle du tout.

C = 80 (30 - 4 = 26, × 3 = 78, + 2 = 80)

Enchaînement de gauche à droite sur trois opérations. À rapprocher de A : si A est juste et C faux, la règle tient sur deux termes et lâche sur trois.

Résultats justes sans aucune étape écrite

Rien ne permet de dire si la règle est appliquée ou si le calcul a été fait de tête dans le bon ordre par chance. Redemander avec des nombres moins commodes.

↳ Les priorités sont le prérequis direct du calcul littéral de 5ème. Une fragilité ici se paiera au chapitre suivant, pas dans six mois.

Exercice 2 — Passer d'une fraction décimale à un décimal

3/10 = 0,03

Le nombre de zéros du dénominateur n'est pas relié au rang décimal. L'élève compte les zéros au lieu de lire « trois dixièmes ».

47/100 = 4,7

Un rang de décalage. Même racine : la virgule est déplacée mécaniquement, sans contrôle du fait que le résultat doit être inférieur à 1.

0,07 = 7/10

Le sens inverse échoue au même endroit. Si la question 1 est juste et la 2 fausse, le passage n'est acquis que dans un sens — ce qui suffit rarement.

Chiffre des centièmes de 8,36 : « 3 »

Décalage d'un rang, ou confusion dixièmes/centièmes. C'est la même difficulté que dans les deux questions précédentes, sous une troisième forme.

↳ Trois questions, une seule difficulté : le nom du rang. Un tableau de numération décimale, relu à voix haute, fait plus que trois exercices supplémentaires.

Exercice 3 — Calculer un périmètre et une aire

Périmètre 36, aire 26

Les deux formules sont échangées. Ce n'est pas une confusion de mots : le contour et la surface ne sont pas distingués comme deux grandeurs différentes.

Périmètre = 9 + 4 = 13

Seuls deux côtés sont comptés. Le rectangle n'est pas parcouru : la formule est appliquée aux deux nombres visibles sur la figure.

Aire donnée en cm et non en cm²

La grandeur est calculée, pas identifiée. Le résultat est juste — à distinguer nettement d'une erreur de calcul.

1 m² = 10 dm²

Le rapport des unités d'aire est cru égal à celui des longueurs. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus durable des conversions d'aires : elle survit jusqu'en 3ème si elle n'est pas traitée par le dessin.

↳ Pour la dernière erreur, aucune règle ne vaut le carré de 1 m découpé en 100 carrés de 1 dm. Le faire dessiner une fois suffit souvent là où le tableau de conversion échoue depuis deux ans.

Exercice 4 — Mesurer et construire un angle

145° au lieu de 35°

La mauvaise graduation du rapporteur est lue — les deux séries de nombres ne sont pas distinguées. L'élève ne se demande pas si l'angle est aigu ou obtus avant de lire.

Mesure juste, nature fausse (« obtus » pour 35° )

Le vocabulaire n'est pas rattaché à la mesure. Aigu et obtus sont mémorisés comme des mots, pas comme des positions par rapport à l'angle droit.

Le rapporteur n'est pas centré sur le sommet

Erreur d'instrument, visible sur la copie à la mesure obtenue (souvent 5 à 10 degrés d'écart). À ne pas confondre avec une méconnaissance de la notion.

L'angle de 110° est construit à 70°

Même lecture inversée du rapporteur qu'à la question 1, cette fois en construction. Si les deux questions échouent ainsi, c'est l'instrument qu'il faut reprendre, pas la notion d'angle.

↳ Faire estimer « aigu ou obtus ? » AVANT de poser le rapporteur élimine à lui seul les deux erreurs de lecture. C'est un réflexe de trente secondes, pas un chapitre.

Exercice 5 — Droites perpendiculaires, parallèles, symétrie

« (d1) et (d2) sont perpendiculaires »

Les deux mots sont interchangés. Ils sont connus comme un couple, sans que chacun soit rattaché à ce qu'il décrit.

L'angle droit n'est pas codé sur la figure

Le codage n'est pas vu comme une information à porter mais comme une décoration. La réponse écrite peut être juste malgré tout : à distinguer.

Le symétrique est recopié à l'identique de l'autre côté de l'axe

La symétrie est comprise comme un glissement. La figure choisie n'étant pas symétrique, l'absence de retournement se voit immédiatement.

La forme est juste mais les distances à l'axe ne sont pas conservées

Le comptage des carreaux n'est pas utilisé comme contrôle : le tracé est fait à vue. La propriété est sue, l'outil de vérification ne l'est pas.

↳ Deux questions, deux natures : la première est du vocabulaire, la seconde une construction. Un élève peut parfaitement réussir l'une et rater l'autre — ne pas globaliser en « problème de géométrie ».

Exercice 6 — Résoudre un problème de proportionnalité

6 croissants → 7,20 €, donc 10 → 11,20 €

L'écart de 4 croissants est ajouté en euros. Deux grandeurs différentes sont additionnées : le tableau n'est pas lu en colonnes.

Passage par l'unité amorcé puis abandonné

7,20 ÷ 6 = 1,20 est trouvé, puis la multiplication par 10 est oubliée. La méthode est connue, elle n'est pas menée à son terme — souvent parce que le prix unitaire est pris pour la réponse.

25 % de 28 = 25

Le pourcentage est lu comme un effectif. La proportion n'est jamais mise en rapport avec le total.

28 ÷ 25

L'opération est choisie au hasard entre les deux nombres. Rien n'indique que l'élève sait ce qu'il cherche.

↳ 25 %, c'est le quart : le dire ainsi transforme la question en partage et supprime les deux dernières erreurs. Les pourcentages usuels se traitent d'abord comme des fractions, la technique vient après.

Exercice 7 — Juger une affirmation sur le périmètre et l'aire

« Léa a raison » alors que les calculs sont justes

Les résultats sont là — R a le plus grand périmètre et la plus petite aire — mais ils ne sont pas confrontés à l'affirmation. Calculer et conclure sont deux gestes distincts, et seul le premier a été fait.

« Léa a tort » sans citer les valeurs trouvées

La conclusion est juste, la justification manque alors qu'elle est explicitement demandée. Réussite partielle — et il est impossible de savoir si l'élève a raisonné ou deviné.

Périmètre de R : 22 juste, aire de R : 20 (le périmètre de S recopié)

Les quatre résultats sont mélangés faute de tableau. L'erreur est organisationnelle, pas mathématique.

Aucune réponse à la question 3, les deux premières justes

Le passage du calcul à l'argumentation n'est pas engagé. C'est précisément ce que cet exercice cherche à voir, et l'absence de réponse est une information — pas un zéro.

↳ Cet exercice ne se rattrape pas par de l'entraînement au calcul. Ce qu'il produit est un indice sur le rapport de l'élève à la preuve, à croiser avec l'exercice 3.

Croiser l'exercice 3 et l'exercice 7

Les deux exercices portent sur le périmètre et l'aire : le troisième demande de les calculer, le septième de s'en servir pour trancher une affirmation. Ce n'est pas une redite — c'est la différence entre appliquer une formule et comprendre ce qu'elle mesure.