Évaluations diagnostiques de mathématiques

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Connaître la valeur des chiffres d'un nombre

Nombre de centaines de 45 208 : « 2 »

Le « nombre de » est lu comme le « chiffre des ». La réponse attendue est 452. C'est la distinction la plus fragile de la numération de cycle 3 — et celle qui commande ensuite la division par 10, l'arrondi et les conversions.

8 043 écrit « huit cent quarante-trois »

Le zéro des centaines n'est pas lu comme une absence de centaines. Le nombre est reconstitué de mémoire à partir des chiffres vus, sans passer par les classes.

Question 1 juste, question 3 fausse (nombre de dixièmes de 12,35 : « 3 »)

La même confusion, mais seulement après la virgule. La partie décimale n'est pas encore un nombre : elle est lue chiffre à chiffre.

6,04 = 6 + 4/10

Le zéro intercalaire est ignoré : le 4 est placé au premier rang disponible, pas à son rang. Même racine que l'erreur précédente.

↳ « Chiffre des » et « nombre de » ne sont pas du vocabulaire à réviser : c'est la même idée que celle qui rend une conversion possible. Reprendre avec un tableau de numération dont on masque la partie droite, plutôt qu'avec des exercices en plus.

Exercice 2 — Comparer, ranger et placer des nombres décimaux

7,9 < 7,12

La partie décimale est traitée comme un entier : 12 > 9. C'est la règle des entiers appliquée telle quelle, une généralisation cohérente, pas une inattention.

5,3 < 5,30 (au lieu de =)

Le zéro final est cru significatif. L'élève lit deux nombres entiers de part et d'autre de la virgule, pas un nombre unique. Le signe = est proposé : ne pas le choisir est un choix, pas un oubli.

Les comparaisons justes, mais le rangement faux (2,07 placé après 2,17)

La procédure tient sur deux nombres et lâche sur quatre. Elle n'est pas automatisée : elle coûte encore de la mémoire de travail.

1,25 placé sur une graduation, pas entre deux

La demi-droite est vue comme une suite de cases numérotées, pas comme un support continu. L'élève n'envisage pas qu'il existe un nombre entre 1,2 et 1,3.

↳ Ranger et placer ne disent pas la même chose. Un élève qui range juste et place faux n'a pas un problème de comparaison : la droite graduée n'est pas encore, pour lui, un support des nombres. Faire lire des positions avant d'en faire placer.

Exercice 3 — Poser et effectuer les opérations

3 605 × 24 : le deuxième produit partiel n'est pas décalé

La technique est mémorisée geste par geste, sans appui sur la valeur des chiffres : on multiplie par 2 et non par 20. C'est la seule erreur de cet exercice qui se rattrape par de la répétition.

12,4 + 8,75 posé en alignant les chiffres à droite

Les virgules ne sont pas alignées : le décimal est traité comme deux entiers accolés. Même racine que les erreurs de l'exercice 2 — le repérer ici confirme que ce n'est pas un accident.

947 ÷ 8 = 118,375

La division euclidienne est confondue avec la division décimale : l'élève poursuit après la virgule alors qu'on demandait un quotient et un reste. La technique est là, c'est la question qui n'a pas été entendue.

Un reste supérieur au diviseur (par exemple 11)

Le critère d'arrêt n'est pas connu. L'élève ne dispose d'aucun moyen de vérifier seul son résultat.

↳ Trois opérations, trois causes distinctes. Ne pas globaliser en « ne sait pas calculer » : seule la première relève de l'entraînement.

Exercice 4 — Lire, placer et utiliser une fraction simple

3/5 pour le rectangle (3 parts coloriées, 5 blanches)

La fraction est lue comme un rapport entre la partie et le reste, pas entre la partie et le tout. Erreur très stable : elle résiste à la correction tant que le « tout » n'est pas nommé explicitement.

3/4 placé entre 3 et 4

Le trait de fraction n'est pas encore une division : les deux termes sont lus comme deux repères sur la droite.

5/2 laissé en blanc

Une fraction supérieure à 1 n'est pas envisagée. Au cycle 3, le numérateur est presque toujours plus petit que le dénominateur : l'élève applique une régularité observée, pas une règle apprise.

Question 3 juste (15 €), question 2 fausse

La procédure « diviser par 4 puis multiplier par 3 » fonctionne isolément, sans que la fraction ait de valeur. C'est la configuration la plus fréquente — et celle qui coince plus tard, dès qu'il faut comparer ou additionner des fractions.

↳ Prendre une fraction d'une quantité et placer une fraction sur une droite ne mobilisent pas la même chose. La réussite de la première sans la seconde n'est pas une demi-maîtrise : c'est un signal précis, à traiter avant les fractions de 6ème.

Exercice 5 — Calculer un périmètre, une aire, convertir

Périmètre 40, aire 26

Les deux formules sont échangées. Ce n'est pas une confusion de mots : le contour et la surface ne sont pas distingués comme deux grandeurs différentes.

Aire donnée en cm et non en cm²

La grandeur est calculée mais pas identifiée. À distinguer nettement d'une erreur de calcul : ici le résultat est juste.

3,5 m = 35 cm

Décalage d'un rang. Le tableau de conversion est récité de mémoire, sans appui sur les relations entre unités.

1 250 g = 12,50 kg

La virgule est déplacée sans contrôle du sens : le résultat devrait être plus petit que 1 250, il est plus grand. L'ordre de grandeur n'est pas interrogé.

↳ Deux réflexes à installer avant tout calcul : dire de quelle grandeur on parle, et dire si le nombre attendu sera plus grand ou plus petit. Ils éliminent trois des quatre erreurs ci-dessus.

Exercice 6 — Reconnaître et construire des figures usuelles

Le triangle est recopié à l'identique de l'autre côté de l'axe

La symétrie est comprise comme un déplacement. C'est l'erreur majoritaire quand l'axe est vertical et la figure non symétrique : le retournement n'est pas perçu comme faisant partie de la transformation.

Le tracé est de la bonne forme mais les distances à l'axe ne sont pas conservées

Le comptage des carreaux n'est pas utilisé comme contrôle : la figure est placée à vue. La propriété est connue, l'outil de vérification ne l'est pas.

M placé de façon à fermer la figure, mais sans angle droit

L'élève ferme un quadrilatère au lieu de construire un rectangle. Les propriétés ne sont pas mobilisées : c'est l'allure de la figure qui décide.

Question 1 réussie, question 2 échouée (ou l'inverse)

Reproduire n'est pas construire. La première question demande un contrôle perceptif appuyé sur le quadrillage, la seconde l'usage d'une propriété.

↳ Sur quadrillage, le comptage des carreaux masque souvent l'absence de propriété. Reposer la question 2 sur une feuille blanche, aux instruments : la séparation entre les deux est immédiate.

Exercice 7 — Résoudre un problème à plusieurs étapes

« 31,25 sachets »

Le calcul est juste, la situation n'est pas interprétée. Le quotient décimal est donné là où le contexte impose un entier : l'élève répond à une opération, pas à une question.

250 ÷ 8 juste, puis 32 × 2,50

Le reste n'est pas lu comme « ce qui ne fait pas un sachet ». Le sachet incomplet est vendu quand même : le nombre a été arrondi par réflexe.

Seule la question 1 est traitée, la suite est laissée en blanc

La lecture s'arrête à la première donnée exploitable. Ce n'est pas un manque de technique : c'est l'enchaînement des étapes qui n'est pas engagé.

77,50 € trouvé, puis « non » sans justification

Le calcul est mené jusqu'au bout mais la comparaison avec 80 € n'est pas écrite. La question 3 demandait explicitement de justifier.

↳ Distinguer « sait diviser » de « sait quoi faire du reste ». C'est ici, et non à l'exercice 3, que la division euclidienne prend son sens — à croiser avec lui.

Croiser l'exercice 3 et l'exercice 7

Les deux exercices reposent sur la même division euclidienne : le premier demande de la poser, le second de s'en servir. Ce n'est pas une redite. Le tableau se lit en deux entrées.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Arrondir et estimer un ordre de grandeur

3 847 arrondi à 3 000

L'arrondi est fait au rang nommé au lieu du rang demandé, ou le chiffre suivant n'est pas regardé. « À la centaine » est compris comme « je garde les centaines ».

12,68 arrondi à 12,6

Troncature au lieu d'arrondi : les chiffres en trop sont coupés, pas arrondis. L'erreur passe inaperçue une fois sur deux, ce qui la rend durable.

198 × 4 : la multiplication est posée

La consigne « sans poser l'opération » n'est pas suivie. L'estimation n'est pas vue comme une méthode mais comme une permission de ne pas calculer.

47 × 21 : « le plus proche de 100 »

Aucun ordre de grandeur : 47 et 21 sont vus comme « des petits nombres », donc le produit aussi. C'est le signal le plus important de l'exercice.

↳ L'ordre de grandeur n'est pas un exercice de plus : c'est le seul moyen dont l'élève dispose pour repérer seul une erreur de virgule ou de rang. Le faire précéder chaque calcul posé, oralement, coûte dix secondes.

Exercice 2 — Reconnaître multiples et diviseurs

42 < 50 < 56 donné, mais 49 non trouvé

La table de 7 est parcourue de mémoire et s'arrête avant. L'élève n'utilise pas la division pour se placer directement : il énumère.

126 : « oui car il est pair »

Le critère de divisibilité par 2 est appliqué à la question posée sur 3. Les critères sont connus mais pas rattachés à leur diviseur.

126 : la division est posée

Le résultat sera juste, mais la justification demandée — la somme des chiffres — n'est pas mobilisée. Réussite de calcul, pas de la compétence visée.

Diviseurs de 24 : 2, 4, 8 corrects mais 5 ou 7 proposés

« Diviseur » est confondu avec « nombre plus petit ». La relation multiplicative n'est pas testée.

↳ Multiples et diviseurs sont la même relation lue dans les deux sens. Un élève qui réussit la question 1 et échoue la 3 ne connaît qu'un des deux sens : le faire reformuler (« 24 est dans la table de… ») suffit souvent.

Exercice 3 — Calculer avec des durées

2 h 45 min = 245 min

Les deux nombres sont accolés. Le système sexagésimal n'est pas distingué du système décimal : l'élève applique la logique des conversions de longueurs.

20 h 35 + 1 h 50 = 21 h 85

L'addition est menée comme sur des décimaux, sans retenue à 60. Même racine que l'erreur précédente, et c'est la plus fréquente de tout l'exercice.

De 9 h 40 à 12 h 15 : « 3 h 25 » ou « 2 h 75 »

La soustraction est faite colonne par colonne sans emprunt à 60, ou l'heure est comptée en trop. Passer par une heure ronde n'est pas envisagé.

Question 1 juste, questions 2 et 3 échouées

La conversion est acquise, le calcul sur les durées non. Ce sont deux compétences distinctes, et seule la seconde sert dans la vie courante.

↳ Les durées sont le seul endroit du cycle 3 où la numération n'est pas décimale. Faire passer par une heure ronde (« de 9 h 40 à 10 h, puis de 10 h à 12 h 15 ») élimine les trois premières erreurs sans aucune technique nouvelle.

Exercice 4 — Résoudre un problème de proportionnalité

4 personnes → 200 g, donc 6 personnes → 400 g

Le passage de 4 à 6 est traité comme un doublement, ou l'élève ajoute une quantité au jugé. Le rapport entre les deux nombres n'est pas calculé.

200 + 2 = 202 g

L'écart des personnes est ajouté à la masse : deux grandeurs différentes sont additionnées. Le tableau n'est pas lu en colonnes.

Passage par l'unité réussi pour les stylos, échoué pour la farine

La méthode existe mais ne se déclenche que si le passage à l'unité tombe juste. 4,50 ÷ 3 donne 1,50 ; 200 ÷ 4 donne 50 — le second n'est pas plus dur, mais la situation « recette » n'est pas reconnue comme proportionnelle.

Les deux réponses justes, sans aucun calcul écrit

Résultat obtenu de tête. Ce n'est pas un problème en soi, mais rien ne permet de savoir si la méthode tiendra avec des nombres moins commodes.

↳ La proportionnalité de cycle 3 se joue sur la reconnaissance de la situation, pas sur la technique. Faire dire à voix haute « si je double la recette, je double la farine » avant tout calcul.

Exercice 5 — Lire et exploiter un tableau et un diagramme

La valeur est lue sur le diagramme et non dans le tableau, avec une estimation à vue

Les deux représentations ne sont pas reconnues comme portant les mêmes données. L'élève n'a pas cherché la source la plus précise.

« Le niveau qui a le plus emprunté : 3e »

La barre la plus à droite, ou la dernière colonne, est prise pour la plus grande. La position remplace la valeur.

Total faux d'un terme (trois niveaux additionnés sur quatre)

Le prélèvement est acquis, le traitement d'ensemble ne l'est pas. C'est la distinction la plus utile de cet exercice.

Question 4 : « oui » sans calcul

80 et 35 : le double de 35 est 70, donc oui — mais la comparaison n'est pas écrite. Sans elle, impossible de savoir si la réponse est raisonnée ou devinée.

↳ Les deux premières questions relèvent du prélèvement, les deux dernières du traitement. Une réussite partielle situe précisément où s'arrête l'élève — et c'est presque toujours au même endroit.

Exercice 6 — Connaître le cercle et son vocabulaire

[OC] appelé « diamètre » et [AB] « rayon »

Les deux mots sont connus mais interchangés : ils ne sont pas rattachés à ce qui les distingue, à savoir le passage par le centre.

[AB] appelé « corde »

Réponse partiellement juste — [AB] est bien une corde — mais elle passe par O, donc le mot attendu est plus précis. À porter au crédit de l'élève.

Rayon 2,5 cm, donc diamètre 2,5 ÷ 2

La relation est connue mais inversée. Aucun contrôle : le diamètre est plus petit que le rayon dans la réponse, et cela ne choque pas.

Le cercle est tracé avec un rayon de 2 cm mesuré comme un diamètre

Le compas est écarté de 2 cm entre les deux pointes… ou de 1 cm. L'écartement du compas n'est pas identifié comme étant le rayon.

↳ Tout tient à un seul mot : « qui passe par le centre ». Le faire dire à chaque fois qu'un segment est nommé, plutôt que réciter les définitions.

Exercice 7 — Contenances et volumes dans un problème

1,5 L = 15 cL

Décalage d'un rang : le rapport entre litre et centilitre est cru égal à 10. Toute la suite du problème est alors fausse alors que le raisonnement est bon.

150 ÷ 25 = 6 trouvé, puis « 6 verres » à la question 3

La question 3 n'est pas distinguée de la question 2. L'élève répond à la situation, pas à la question posée.

20 ÷ 6 = 3,33, donc « 3 bouteilles »

Le quotient décimal est arrondi vers le bas alors que la situation impose d'arrondir vers le haut : trois bouteilles ne suffisent pas. Le calcul est juste, la situation n'est pas interprétée.

« 4 bouteilles » sans justification

La bonne réponse, mais la question demandait de justifier. Réussite partielle.

↳ Deux obstacles indépendants : la conversion (question 1) et le sens de l'arrondi (question 3). Un élève qui rate la première rate tout le reste sans se tromper une seule fois de raisonnement — corriger la conversion avant de conclure quoi que ce soit.

Croiser l'exercice 1 et l'exercice 7

L'exercice 1 demande d'estimer un résultat sans le calculer ; l'exercice 7 demande un résultat exact. Lus ensemble, ils disent si l'élève contrôle ce qu'il trouve ou s'il se contente de le trouver.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Comparer et ranger des nombres décimaux

3,15 > 3,7

La partie décimale est traitée comme un entier : 15 > 7, donc 3,15 gagne. C'est la règle des entiers appliquée telle quelle, « plus il y a de chiffres, plus c'est grand » — une généralisation cohérente, pas une inattention.

0,8 < 0,80 (au lieu de =)

Même racine : le zéro final est cru significatif. L'élève lit deux nombres entiers (8 et 80) de part et d'autre de la virgule, pas un nombre unique. Le signe = est proposé : ne pas le choisir est un choix, pas un oubli.

Les deux comparaisons justes, mais le rangement faux (5,09 placé après 5,19)

La procédure fonctionne sur deux nombres et lâche sur une série de quatre. Elle n'est pas automatisée : elle coûte encore de la mémoire de travail.

↳ Si la première erreur apparaît, inutile de multiplier les comparaisons : c'est le sens du décimal qu'il faut reprendre (droite graduée, fractions décimales, un même nombre écrit de plusieurs façons). L'entraînement ne vient qu'après.

Exercice 2 — Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

0 < 7/3 < 1

La fraction est crue toujours inférieure à 1. Généralisation abusive à partir des fractions de partage rencontrées au cycle 3, où le numérateur est toujours plus petit que le dénominateur.

7 < 7/3 < 8, ou 3 < 7/3 < 4

Un des deux termes est lu comme la valeur de la fraction. Le trait de fraction n'est pas encore compris comme une division.

Encadrement juste pour 9/4, faux pour 22/5

La division fonctionne tant que le quotient reste petit. C'est le calcul qui bloque, pas la notion.

↳ Faire placer les trois fractions sur une même droite graduée : l'encadrement se lit alors au lieu de se calculer, et les deux premières erreurs deviennent visibles pour l'élève lui-même.

Exercice 3 — Convertir des unités de longueur et de masse

2,5 m = 25 cm

Décalage d'un rang. Le tableau de conversion est récité de mémoire, sans appui sur les relations entre unités.

340 g = 3,40 kg

La virgule est déplacée sans contrôle du sens : le résultat devrait être plus petit que 340, il est plus grand. L'ordre de grandeur n'est pas interrogé.

Les deux conversions « vers le petit » réussies, les deux autres échouées

Le sens de la conversion n'est pas décidé avant de calculer. L'élève applique toujours la même opération.

↳ Avant tout calcul, faire dire si le nombre attendu sera plus grand ou plus petit. Ce seul réflexe élimine la deuxième et la troisième erreur.

Exercice 4 — Résoudre un problème à plusieurs étapes

Seule la question 1 est traitée, la suite est laissée en blanc

La lecture s'arrête à la première donnée exploitable. Ce n'est pas un manque de technique : c'est l'enchaînement des étapes qui n'est pas engagé.

4 × 25 × 18,50

Toutes les données sont combinées en un seul calcul, sans distinguer ce qu'on compte (des compas) de ce qu'on paie (des boîtes). Erreur de modélisation, pas de calcul — et le calcul lui-même est souvent juste.

74 € trouvé, puis « oui » sans justification

Le calcul est mené jusqu'au bout mais la conclusion n'est pas rédigée. La question 3 demandait explicitement de justifier.

↳ Distinguer « sait calculer » de « sait choisir le calcul ». Un élève qui réussit les exercices 1 à 3 et bloque ici n'a pas besoin de plus d'automatismes : il a besoin de problèmes.

Exercice 5 — Lire et interpréter un graphique

« 65 » ou « 75 » pour novembre

La valeur est estimée à vue plutôt que lue sur les graduations. La barre est perçue comme une image, pas comme un repérage.

Décembre et septembre intervertis à la question 2

Confusion entre « le moins » et « le plus », ou lecture de la barre la plus à gauche. À distinguer d'une erreur de lecture : ici c'est la question qui n'a pas été lue.

Les questions 1 et 2 justes, la 3 fausse ou vide

Lire une valeur est acquis, exploiter l'ensemble des données ne l'est pas. C'est la distinction la plus utile de cet exercice.

↳ Les deux premières questions relèvent du prélèvement, la troisième du traitement. Une réussite partielle situe précisément où s'arrête l'élève.

Exercice 6 — Repérer une erreur et la justifier

« C'est faux » sans localiser la ligne

L'élève sent que quelque chose ne va pas mais ne sait pas le dire. Le contrôle existe, le langage pour l'exprimer manque.

La ligne est bien repérée, mais l'explication consiste à redonner la bonne règle

L'élève sait comparer, il ne sait pas encore expliquer pourquoi l'autre procédure échoue. C'est un niveau d'argumentation, pas un manque de connaissance : c'est déjà une réussite partielle.

Le raisonnement de la copie est validé

L'erreur de l'exercice 1 n'était pas un accident : la règle fausse est stabilisée. C'est l'information la plus importante de la feuille.

↳ Cet exercice ne se rattrape pas par de l'entraînement. Ce qu'il produit est un indice sur les représentations, à croiser avec l'exercice 1.

Croiser l'exercice 1 et l'exercice 6

Les deux exercices portent sur la même comparaison. Ce n'est pas une redite : le premier demande de faire, le second de juger. Le tableau se lit en deux entrées.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Respecter les priorités opératoires

A = 45

Calcul de gauche à droite : (7 + 2) puis × 5. La multiplication n'est pas prioritaire. C'est une règle concurrente cohérente, pas une inattention.

A et B donnent le même résultat

Les parenthèses ne sont pas lues. Plus grave que l'erreur précédente : il n'y a pas de règle fausse, il n'y a pas de règle du tout.

C = 80 (30 - 4 = 26, × 3 = 78, + 2 = 80)

Enchaînement de gauche à droite sur trois opérations. À rapprocher de A : si A est juste et C faux, la règle tient sur deux termes et lâche sur trois.

Résultats justes sans aucune étape écrite

Rien ne permet de dire si la règle est appliquée ou si le calcul a été fait de tête dans le bon ordre par chance. Redemander avec des nombres moins commodes.

↳ Les priorités sont le prérequis direct du calcul littéral de 5ème. Une fragilité ici se paiera au chapitre suivant, pas dans six mois.

Exercice 2 — Passer d'une fraction décimale à un décimal

3/10 = 0,03

Le nombre de zéros du dénominateur n'est pas relié au rang décimal. L'élève compte les zéros au lieu de lire « trois dixièmes ».

47/100 = 4,7

Un rang de décalage. Même racine : la virgule est déplacée mécaniquement, sans contrôle du fait que le résultat doit être inférieur à 1.

0,07 = 7/10

Le sens inverse échoue au même endroit. Si la question 1 est juste et la 2 fausse, le passage n'est acquis que dans un sens — ce qui suffit rarement.

Chiffre des centièmes de 8,36 : « 3 »

Décalage d'un rang, ou confusion dixièmes/centièmes. C'est la même difficulté que dans les deux questions précédentes, sous une troisième forme.

↳ Trois questions, une seule difficulté : le nom du rang. Un tableau de numération décimale, relu à voix haute, fait plus que trois exercices supplémentaires.

Exercice 3 — Calculer un périmètre et une aire

Périmètre 36, aire 26

Les deux formules sont échangées. Ce n'est pas une confusion de mots : le contour et la surface ne sont pas distingués comme deux grandeurs différentes.

Périmètre = 9 + 4 = 13

Seuls deux côtés sont comptés. Le rectangle n'est pas parcouru : la formule est appliquée aux deux nombres visibles sur la figure.

Aire donnée en cm et non en cm²

La grandeur est calculée, pas identifiée. Le résultat est juste — à distinguer nettement d'une erreur de calcul.

1 m² = 10 dm²

Le rapport des unités d'aire est cru égal à celui des longueurs. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus durable des conversions d'aires : elle survit jusqu'en 3ème si elle n'est pas traitée par le dessin.

↳ Pour la dernière erreur, aucune règle ne vaut le carré de 1 m découpé en 100 carrés de 1 dm. Le faire dessiner une fois suffit souvent là où le tableau de conversion échoue depuis deux ans.

Exercice 4 — Mesurer et construire un angle

145° au lieu de 35°

La mauvaise graduation du rapporteur est lue — les deux séries de nombres ne sont pas distinguées. L'élève ne se demande pas si l'angle est aigu ou obtus avant de lire.

Mesure juste, nature fausse (« obtus » pour 35° )

Le vocabulaire n'est pas rattaché à la mesure. Aigu et obtus sont mémorisés comme des mots, pas comme des positions par rapport à l'angle droit.

Le rapporteur n'est pas centré sur le sommet

Erreur d'instrument, visible sur la copie à la mesure obtenue (souvent 5 à 10 degrés d'écart). À ne pas confondre avec une méconnaissance de la notion.

L'angle de 110° est construit à 70°

Même lecture inversée du rapporteur qu'à la question 1, cette fois en construction. Si les deux questions échouent ainsi, c'est l'instrument qu'il faut reprendre, pas la notion d'angle.

↳ Faire estimer « aigu ou obtus ? » AVANT de poser le rapporteur élimine à lui seul les deux erreurs de lecture. C'est un réflexe de trente secondes, pas un chapitre.

Exercice 5 — Droites perpendiculaires, parallèles, symétrie

« (d1) et (d2) sont perpendiculaires »

Les deux mots sont interchangés. Ils sont connus comme un couple, sans que chacun soit rattaché à ce qu'il décrit.

L'angle droit n'est pas codé sur la figure

Le codage n'est pas vu comme une information à porter mais comme une décoration. La réponse écrite peut être juste malgré tout : à distinguer.

Le symétrique est recopié à l'identique de l'autre côté de l'axe

La symétrie est comprise comme un glissement. La figure choisie n'étant pas symétrique, l'absence de retournement se voit immédiatement.

La forme est juste mais les distances à l'axe ne sont pas conservées

Le comptage des carreaux n'est pas utilisé comme contrôle : le tracé est fait à vue. La propriété est sue, l'outil de vérification ne l'est pas.

↳ Deux questions, deux natures : la première est du vocabulaire, la seconde une construction. Un élève peut parfaitement réussir l'une et rater l'autre — ne pas globaliser en « problème de géométrie ».

Exercice 6 — Résoudre un problème de proportionnalité

6 croissants → 7,20 €, donc 10 → 11,20 €

L'écart de 4 croissants est ajouté en euros. Deux grandeurs différentes sont additionnées : le tableau n'est pas lu en colonnes.

Passage par l'unité amorcé puis abandonné

7,20 ÷ 6 = 1,20 est trouvé, puis la multiplication par 10 est oubliée. La méthode est connue, elle n'est pas menée à son terme — souvent parce que le prix unitaire est pris pour la réponse.

25 % de 28 = 25

Le pourcentage est lu comme un effectif. La proportion n'est jamais mise en rapport avec le total.

28 ÷ 25

L'opération est choisie au hasard entre les deux nombres. Rien n'indique que l'élève sait ce qu'il cherche.

↳ 25 %, c'est le quart : le dire ainsi transforme la question en partage et supprime les deux dernières erreurs. Les pourcentages usuels se traitent d'abord comme des fractions, la technique vient après.

Exercice 7 — Juger une affirmation sur le périmètre et l'aire

« Léa a raison » alors que les calculs sont justes

Les résultats sont là — R a le plus grand périmètre et la plus petite aire — mais ils ne sont pas confrontés à l'affirmation. Calculer et conclure sont deux gestes distincts, et seul le premier a été fait.

« Léa a tort » sans citer les valeurs trouvées

La conclusion est juste, la justification manque alors qu'elle est explicitement demandée. Réussite partielle — et il est impossible de savoir si l'élève a raisonné ou deviné.

Périmètre de R : 22 juste, aire de R : 20 (le périmètre de S recopié)

Les quatre résultats sont mélangés faute de tableau. L'erreur est organisationnelle, pas mathématique.

Aucune réponse à la question 3, les deux premières justes

Le passage du calcul à l'argumentation n'est pas engagé. C'est précisément ce que cet exercice cherche à voir, et l'absence de réponse est une information — pas un zéro.

↳ Cet exercice ne se rattrape pas par de l'entraînement au calcul. Ce qu'il produit est un indice sur le rapport de l'élève à la preuve, à croiser avec l'exercice 3.

Croiser l'exercice 3 et l'exercice 7

Les deux exercices portent sur le périmètre et l'aire : le troisième demande de les calculer, le septième de s'en servir pour trancher une affirmation. Ce n'est pas une redite — c'est la différence entre appliquer une formule et comprendre ce qu'elle mesure.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Comparer et calculer avec des nombres relatifs

-7,5 rangé après -3

L'ordre des négatifs est calqué sur celui des positifs : plus le nombre « paraît grand », plus il est cru grand. La droite graduée n'est pas mobilisée — et sans elle, aucune vérification n'est possible.

B = 3 - 7 = 4

La soustraction est faite dans le sens qui « marche » : l'élève calcule 7 - 3. Un résultat négatif n'est pas envisagé dans cette écriture.

C = -4 - 6 = -2

Deux signes négatifs consécutifs ne sont pas lus comme l'ajout de deux nombres négatifs : l'élève traite 6 - 4 puis recolle un signe. Le second « - » est vu comme une opération, jamais comme le signe du 6.

Distance à zéro de -7 : « -7 »

La distance à zéro est admise négative : elle n'est pas comprise comme une longueur. Souvent accompagnée d'une confusion avec l'opposé.

↳ Ranger et calculer ne signalent pas la même chose. Un élève qui range juste et calcule faux dispose de la droite graduée : il lui manque les règles de signes, et elles s'installent. L'inverse est plus rare et plus profond.

Exercice 2 — Additionner et multiplier des fractions

E = 3/5 + 1/5 = 4/10

Les dénominateurs sont additionnés comme les numérateurs, alors qu'ils sont déjà égaux. La règle de la multiplication déborde sur l'addition — l'erreur la plus stable du cycle 4.

F = 2/3 + 1/6 = 3/9

Même chose, sans envisager le dénominateur commun alors que 6 est un multiple de 3. L'élève ne cherche pas à transformer une écriture : il applique.

G = 7/4 - 1/2 = 6/2

Soustraction terme à terme. Le résultat, 3, est plus grand que 7/4 : aucun contrôle d'ordre de grandeur n'est fait.

H juste, E faux

La multiplication est acquise, l'addition ne l'est pas. Le manque est précisément le dénominateur commun — pas « les fractions ».

↳ Toutes ces erreurs ont une racine unique : la règle la plus simple s'applique là où il en faut une plus coûteuse. Reprendre par des dénominateurs égaux, puis multiples, plutôt que par davantage d'exercices mélangés.

Exercice 3 — Respecter les priorités, utiliser la distributivité

I = 32

Calcul de gauche à droite : (5 + 3) puis × 4. La multiplication n'est pas prioritaire. Si J est juste par ailleurs, l'élève sait que les parenthèses changent quelque chose, mais croit que sans elles on lit dans l'ordre.

I et J donnent le même résultat

Les parenthèses ne sont pas lues du tout. C'est plus grave que l'erreur précédente : il n'y a pas de règle concurrente, il n'y a pas de règle.

K = 126

Toujours de gauche à droite : (20 - 2) × 7. La parenthèse interne a bien été calculée, ce qui montre que le problème est uniquement l'ordre entre - et ×.

L : la multiplication 7 × 102 est posée

Le résultat est juste et la compétence visée n'est pas mobilisée : on demandait d'utiliser la distributivité. À ne pas compter comme une réussite — et à croiser avec l'exercice 4.

↳ Les trois premières erreurs sont la même. La quatrième est d'une autre nature : l'élève sait calculer, il n'a pas vu ce qu'on lui demandait de montrer. Les confondre ferait refaire des priorités à quelqu'un qui les maîtrise.

Exercice 4 — Réduire, développer et tester une expression littérale

M = 3x + 5 + 2x - 1 = 9x

Les termes en x et les nombres sont additionnés ensemble. Le x est traité comme une décoration qu'on peut ignorer le temps du calcul, puis recoller.

N = 4(x + 3) = 4x + 3

La distributivité s'arrête au premier terme. C'est exactement l'erreur qui bloquera la 3ème. Si le calcul de L est réussi à l'exercice 3, la règle est connue sur des nombres et perdue sur des lettres.

P = 5(2x - 1) = 7x - 5

Le 5 est ajouté au 2 au lieu d'être multiplié : deux opérations différentes sont confondues parce que rien ne les sépare à l'écrit.

« Oui » à la question 4, sans calcul écrit

La vérification est faite de tête ou devinée. Or tester une égalité est justement la seule chose que l'élève peut contrôler tout seul : c'est la compétence à installer en priorité, avant les équations de 4ème.

↳ Le calcul littéral de 5ème n'est pas « du calcul avec des lettres » : c'est la même distributivité, déplacée. Le croisement avec l'exercice 3 dit lequel des deux manque.

Exercice 5 — Résoudre un problème de proportionnalité

4 litres → 6,40 €, donc 7 litres → 9,40 €

Un écart constant est repéré là où il y a un coefficient. Reconnaître un tableau de proportionnalité et savoir l'utiliser sont deux compétences distinctes.

35 % de 500 élèves = 35 élèves

Le pourcentage est lu comme un effectif. La proportion n'est jamais mise en rapport avec le total : 35 % et 35 élèves sont la même chose pour l'élève.

500 ÷ 35

L'opération est choisie au hasard entre les deux nombres de l'énoncé. Rien n'indique que l'élève sait ce qu'il cherche — c'est le signal le plus net de l'exercice.

8 × 25 000 = 200 000, réponse « 200 000 km »

Le calcul est juste, la conversion est oubliée : le résultat est en centimètres. L'unité était demandée en gras. Réussite partielle, pas échec.

↳ Trois habillages d'une même notion : quatrième proportionnelle, pourcentage, échelle. Un élève qui échoue à l'échelle et réussit le pourcentage n'a pas un problème de proportionnalité, il a un problème d'unités — et cela se traite en une séance.

Exercice 6 — Angles, inégalité triangulaire et symétrie centrale

Angle C = 133° (180 - 47), ou « 115° » donné comme réponse

Une seule des deux étapes est faite : le deuxième angle est oublié, ou la somme des deux angles connus est rendue telle quelle. La propriété est sue, la soustraction finale ne suit pas.

« Oui » pour le triangle de côtés 3, 4 et 8

L'inégalité triangulaire n'est pas mobilisée : 3 + 4 n'est pas comparé à 8. Souvent l'élève a essayé de dessiner et conclu qu'il « n'y arrivait pas bien ».

« Non » sans comparaison écrite

La conclusion est juste, la justification manque alors qu'elle est demandée. Réussite partielle, à distinguer nettement de la précédente.

Le symétrique est tracé comme un symétrique par rapport à une droite, ou par glissement

La symétrie centrale est confondue avec la symétrie axiale ou avec une translation. Le demi-tour n'est pas perçu — c'est une image mentale qui manque, pas une technique.

↳ Les deux premières questions se rattrapent par de l'entraînement, la troisième non. Faire tourner la feuille d'un demi-tour autour de O fait plus, sur la confusion des deux symétries, que dix constructions supplémentaires.

Exercice 7 — Exploiter une série de données

La somme est divisée par 7, ou par le nombre de notes différentes

L'effectif est mal identifié. La moyenne est appliquée comme une procédure — « j'additionne et je divise » — sans être comprise comme un partage équitable.

Note la plus fréquente : 15

Le maximum est donné à la place de la valeur la plus fréquente : « le plus » est lu comme « le plus grand ». Erreur de langue, pas de statistique.

11,25 trouvé, puis « au-dessus »

La comparaison est faite dans le mauvais sens, ou la conclusion était écrite avant le calcul. Le résultat juste ne garantit pas la lecture juste.

« En dessous » sans écrire la comparaison

Le calcul est mené jusqu'au bout mais la justification manque, alors que la question la demandait explicitement.

↳ Les deux premières questions relèvent du calcul, la troisième de l'interprétation. Un élève qui calcule juste et conclut faux n'a pas besoin de calculer plus de moyennes.

Croiser l'exercice 3 et l'exercice 4

La distributivité est demandée deux fois : sur des nombres au calcul de L, sur des lettres aux questions N et P. C'est la même règle. Lues ensemble, les deux réponses disent si ce qui manque est la règle elle-même ou le statut de la lettre.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Comparer, placer et utiliser une fraction

2/3 < 4/6

Les deux fractions sont égales. L'élève compare les numérateurs, ou conclut que « plus les nombres sont grands, plus la fraction est grande ». Le signe = est proposé : ne pas le choisir est un choix.

7/5 < 1

Une fraction est crue toujours inférieure à 1. Généralisation à partir des fractions de partage, où le numérateur est presque toujours le plus petit.

5/3 placé entre 5 et 3, ou après 3

Le trait de fraction n'est pas une division : les deux termes sont lus comme des repères sur la droite. Erreur invisible tant qu'on ne demande que des calculs.

Question 3 juste (27 €), question 2 échouée

La procédure « diviser par 5 puis multiplier par 3 » fonctionne sans que la fraction ait de valeur située. C'est la configuration la plus fréquente — et celle qui coince dès qu'il faut comparer ou additionner.

↳ Placer une fraction sur une droite est le test qui distingue la procédure du sens. Un élève qui calcule juste et place faux n'a pas besoin de plus de calculs.

Exercice 2 — Calculer le périmètre d'un cercle et l'aire d'un disque

Périmètre = 3,14 × 6 = 18,84 cm

La formule 2 x pi x R est appliquée sans le facteur 2, ou pi x D est utilisée avec le rayon à la place du diamètre. C'est la confusion rayon/diamètre, la plus fréquente de tout le chapitre.

Aire = 3,14 × 12 = 37,68 cm²

pi x R² est calculé comme pi × 2R : le carré est traité comme un doublement. Deux opérations différentes sont confondues.

Les deux formules sont échangées

Périmètre et aire ne sont pas distingués comme deux grandeurs : ce sont deux formules à retrouver, et rien ne dit laquelle va avec quoi.

Résultats justes mais donnés en cm pour les deux

L'unité d'aire n'est pas identifiée. Le calcul est bon — à ne pas compter comme un échec, mais à relever : c'est le même oubli qui coûtera des points au brevet.

↳ Faire écrire la formule avant de remplacer, systématiquement. La moitié de ces erreurs disparaît quand l'élève voit « 2 × pi × R » écrit avant d'avoir un nombre sous les yeux.

Exercice 3 — Calculer un volume et convertir

Volume = 8 + 4 + 3

Les trois dimensions sont additionnées. La formule est cherchée du côté du périmètre : le volume n'est pas conçu comme un empilement.

Volume = 8 × 4 = 32

Seules deux dimensions sont utilisées : c'est l'aire d'une face. La troisième dimension, dessinée en perspective, n'est pas prise pour une longueur réelle.

96 cm² au lieu de 96 cm³

Le calcul est juste, l'unité de volume n'est pas identifiée. À distinguer nettement des deux erreurs précédentes.

1 dm³ = 100 cm³

Le rapport des unités de volume est cru égal à 100 — celui des aires — au lieu de 1 000. L'élève applique un rapport mémorisé sans le rattacher à la dimension.

↳ Le cube de 1 dm découpé en 1 000 cubes de 1 cm règle la dernière erreur mieux que le tableau de conversion, parce qu'il donne une raison au 1 000 au lieu d'un rang à retenir.

Exercice 4 — Angles et droites parallèles

a = 122°

Le supplémentaire est donné à la place de l'angle demandé. La position relative des deux angles n'est pas analysée : l'élève applique « 180 moins » par défaut.

a = 58° sans justification

La bonne mesure, mais la propriété — angles correspondants ou alternes-internes formés par deux parallèles — n'est pas nommée alors qu'elle est demandée. Réussite partielle.

« Ils sont égaux parce qu'ils se ressemblent »

La réponse est perceptive. Le parallélisme, pourtant donné dans l'énoncé, n'est pas utilisé : c'est l'hypothèse qui n'est pas vue comme un outil.

a juste et b faux

Une seule des deux configurations est reconnue. C'est le résultat le plus fréquent : les angles correspondants passent, les alternes-internes non — ou l'inverse.

↳ Faire repasser au crayon de couleur les deux droites parallèles et la sécante avant toute réponse. La configuration devient visible, et la propriété se rappelle seule.

Exercice 5 — Exprimer une grandeur par une expression littérale

Périmètre = x + x + 4

Deux côtés sur quatre sont comptés, et le « + 4 » est ajouté une seule fois. L'expression est produite à partir de la figure lue, pas du contour parcouru.

Périmètre = x × (x + 4)

L'aire est calculée à la place du périmètre. Les deux grandeurs ne sont pas distinguées — même racine que les erreurs de l'exercice 2.

2x + 2x + 4 non réduit, ou réduit en 4x + 4 au lieu de 4x + 8

La distributivité de 2 sur (x + 4) est incomplète : le 4 n'est multiplié qu'une fois. C'est l'erreur de développement du volet A, ici sous forme géométrique.

Question 1 laissée en blanc, question 2 traitée avec x = 3 dès le départ

L'élève contourne la lettre en revenant au numérique. Il sait calculer le périmètre, il ne sait pas l'exprimer — c'est exactement la compétence visée.

↳ Exprimer avant de calculer est le geste qui ouvre les équations de 4ème. Un élève qui saute directement à la valeur numérique n'aura aucune prise sur le chapitre suivant.

Exercice 6 — Proportionnalité : vitesse et durée

45 × 3 = 135 km/h

La multiplication remplace la division. L'opération est choisie entre les deux nombres sans qu'un ordre de grandeur vienne corriger : 135 km/h à vélo ne choque pas.

3 ÷ 45

La division est faite dans le mauvais sens. Le résultat, 0,067, n'est pas interrogé non plus.

Question 1 juste (15 km/h), question 2 traitée par 15 + 5

La vitesse est trouvée puis additionnée aux heures : deux grandeurs différentes sont combinées. La proportionnalité n'est pas reconnue dans la seconde question.

Les deux réponses justes sans unité

15 et 75 sans km/h ni km. Le résultat est bon, la grandeur n'est pas nommée — et c'est précisément ce qui distingue une vitesse d'une distance.

↳ Un ordre de grandeur avant chaque réponse — « un cycliste, c'est autour de 20 km/h » — intercepte les deux premières erreurs sans rien enseigner de nouveau.

Exercice 7 — Choisir entre périmètre et aire dans un problème

La bordure est calculée avec pi x R²

Une longueur est cherchée avec une formule d'aire. La formule est peut-être connue — voir l'exercice 2 — mais le lien entre la situation et la grandeur ne l'est pas.

Le gazon est calculé avec 2 x pi x R

Symétrique de l'erreur précédente. Les deux ensemble signalent que l'élève tire la formule au hasard parmi les deux qu'il connaît.

Aire trouvée (452 m²), puis 452 ÷ 50 = 9,04, réponse « 9 rouleaux »

Le quotient est arrondi vers le bas alors que la situation impose le contraire : neuf rouleaux laissent une bande à nu. Le calcul est juste, la situation n'est pas interprétée.

« 10 rouleaux » sans justification

La bonne réponse, mais la question demandait de justifier. Réussite partielle — et impossible de distinguer le raisonnement du hasard.

↳ C'est ici, et non à l'exercice 2, que se voit la compréhension des deux grandeurs. Ne rien conclure de cet exercice seul : le croiser avec l'exercice 2.

Croiser l'exercice 2 et l'exercice 7

Les deux exercices portent sur le cercle et le disque. L'exercice 2 dit quoi calculer ; l'exercice 7 décrit une situation et laisse l'élève choisir. Lus ensemble, ils séparent « connaître les formules » de « savoir laquelle sert ».

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Calculer avec des relatifs et des fractions

A = -8

Le calcul est mené de gauche à droite : (-3 + 5) puis × (-4). La multiplication n'est pas prioritaire. Ce n'est pas une étourderie, c'est une règle de lecture concurrente, cohérente et stable.

B = 1 (7 - 2 × 3)

Le signe du -2 est absorbé par la soustraction. L'élève voit « moins deux fois trois » là où il y a « moins le produit de -2 par 3 ».

C = 1/1 (numérateurs et dénominateurs soustraits terme à terme)

La règle de la multiplication déborde sur l'addition. C'est la plus simple des deux, donc celle qui s'impose : l'erreur vient d'une économie, pas d'un oubli.

D juste, C faux

La multiplication de fractions est acquise, l'addition ne l'est pas. Le manque est précisément le dénominateur commun — pas « les fractions ».

↳ Relatifs et fractions échouent pour des raisons indépendantes : ne pas les compter ensemble. Un élève qui réussit C et D et échoue A et B n'a aucun problème de fractions, il a un problème de priorités.

Exercice 2 — Utiliser les puissances et la notation scientifique

10^4 × 10^-6 = 10^-24

Les exposants sont multipliés au lieu d'être additionnés : la règle du produit et celle de la puissance d'une puissance sont confondues. Les deux existent, l'élève choisit la mauvaise.

(2×10^3) × (3×10^5) = 5×10^8

Les facteurs 2 et 3 sont additionnés alors que les exposants, eux, le sont à bon droit. L'écriture a×10^n n'est pas lue comme un produit mais comme un bloc.

0,0072 = 7,2×10^3

Le signe de l'exposant est décidé par le nombre de rangs déplacés, sans regarder si le nombre est plus grand ou plus petit que 1. Aucun contrôle d'ordre de grandeur.

34 500 = 34,5×10^3

Le nombre est juste, l'écriture n'est pas scientifique : la contrainte « le facteur doit être compris entre 1 et 10 » n'est pas connue. À ne surtout pas compter comme la même erreur que les trois précédentes.

↳ La dernière erreur se corrige en une phrase, les trois autres demandent de revenir aux règles. Les distinguer évite de faire refaire un chapitre entier à un élève à qui il manque une convention d'écriture.

Exercice 3 — Développer et réduire une expression littérale

3(2x - 5) = 6x - 5

La distributivité s'arrête au premier terme. C'est l'erreur la plus fréquente du cycle 4 et la plus coûteuse : elle survit à toute la 3ème si elle n'est pas traitée.

-2(x + 4) + 5x = -2x + 8 + 5x

Le signe n'est distribué qu'une fois. Le « -2 » est lu comme « 2 » précédé d'un signe posé devant la parenthèse, et non comme un facteur négatif.

(x + 3)(x - 2) = x² - 6

Seuls les termes extrêmes sont multipliés : la double distributivité est appliquée comme la simple. Les deux termes croisés, donc le terme en x, disparaissent.

La question 3 juste et la question 1 fausse

Configuration rare et instructive : la procédure la plus récemment apprise tient, la plus ancienne s'est dégradée. Rien ne sert de réexpliquer la double distributivité.

↳ Le calcul littéral de 4ème est le prérequis direct des identités remarquables et de la factorisation. Une fragilité ici ne se rattrape pas en cours d'année : elle bloque le chapitre entier. C'est la ligne à traiter en premier.

Exercice 4 — Résoudre une équation du premier degré

5x - 7 = 3x + 9 → 5x - 3x = 9 - 7

Le 3x change bien de signe en traversant l'égalité, mais le -7 non : il devait devenir +7. Le « passage de l'autre côté » est appliqué comme un rituel, sans la soustraction qui le justifie — et le résultat, x = 1, n'est pas vérifié.

2x = 16 → x = 14

La dernière étape est traitée comme une addition : le coefficient est confondu avec un terme. L'élève sait « faire passer », il ne sait pas ce qu'il fait passer.

4(x - 2) = 12 → 4x - 2 = 12

Même distributivité incomplète qu'à l'exercice 3, mais ici elle fait perdre l'équation entière. Le croisement des deux exercices confirme que la cause est en amont.

Une solution est donnée, jamais vérifiée

Aucun contrôle. C'était explicitement demandé — et c'est le seul moyen dont l'élève dispose pour savoir seul s'il a juste.

↳ Faire systématiquement vérifier la solution dans l'équation de départ. Ce n'est pas une exigence de rédaction : c'est ce qui rend l'élève autonome sur ce chapitre.

Exercice 5 — Utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque

BC² = 36 + 64 = 100, donc BC = 100

La racine carrée est oubliée. Le théorème est su, la conclusion ne l'est pas — et le résultat n'est pas confronté à la figure, où BC ne peut pas valoir 100 cm.

BC² = 8² - 6²

L'hypoténuse n'est pas identifiée : la formule est appliquée d'après l'ordre des données dans l'énoncé, pas d'après la figure et l'angle droit.

Question 2 : « 5² + 12² = 13² donc oui », sans nommer le sommet

Le calcul est juste, la conclusion est incomplète : la réciproque dit en quel point le triangle est rectangle. Réussite partielle, à ne pas compter comme un échec.

Question 2 : « oui, il en a l'air »

La réciproque n'est pas mobilisée du tout : la réponse est perceptive. La figure est volontairement dessinée avec un angle légèrement ouvert — répondre à l'œil ne peut pas marcher. C'est le signal le plus important de l'exercice.

↳ Deux questions, deux théorèmes distincts. Réussir la première et échouer la seconde est la norme en début de 3ème : la réciproque est peu travaillée en 4ème alors qu'elle tombe au brevet. Ne pas le lire comme une fragilité sur Pythagore.

Exercice 6 — Résoudre un problème de proportionnalité

80 - 15 = 65 €

Le pourcentage est soustrait comme un nombre d'euros. La proportion n'est jamais mise en rapport avec le prix : 15 % et 15 € sont confondus.

80 × 0,15 = 12, et la réponse s'arrête là

La baisse est calculée correctement mais la question portait sur le prix final. Le calcul est juste, la question n'a pas été relue.

Tableau : 7,50 + 2 = 9,50 pour 5 kg

Un écart constant est repéré là où il y a un coefficient. Reconnaître un tableau de proportionnalité et savoir l'utiliser sont deux compétences différentes.

12 ÷ 50 = 0,24 km/h

Les minutes n'ont pas été converties en heures. L'unité était demandée en gras dans l'énoncé : c'est la lecture de la consigne qui a échoué, pas la vitesse.

↳ Trois questions, trois habillages de la même notion : pourcentage, quatrième proportionnelle, vitesse. Un élève qui n'en réussit qu'une n'a pas « un problème de proportionnalité » : il a un problème avec un de ses habillages, et c'est celui-là qu'il faut nommer.

Exercice 7 — Mettre un problème en équation

Question 1 : « longueur = 3x »

« 3 cm de plus » est lu comme « 3 fois plus ». L'erreur est de lecture de l'énoncé, pas de calcul — et elle rend faux tout le reste alors que la méthode est bonne.

Question 2 : x + x + 3 = 46

Le périmètre est confondu avec la demi-somme des côtés : le facteur 2 manque. Le modèle est presque juste, ce qui le rend difficile à repérer pour l'élève.

Questions 1 et 2 justes, question 3 échouée

La mise en équation est acquise, la résolution non. C'est exactement l'inverse du profil habituel — à croiser avec l'exercice 4 avant toute décision.

Rien n'est écrit, alors que l'exercice 4 est réussi

L'élève sait résoudre une équation qu'on lui donne, pas en produire une. C'est la difficulté centrale du problème au brevet, et elle est invisible tant qu'on ne donne que des équations toutes faites.

↳ C'est ici que se joue la différence entre un élève qui sait faire les exercices et un élève qui sait résoudre un problème. Ne rien conclure de cet exercice seul : le croiser avec l'exercice 4.

Croiser l'exercice 4 et l'exercice 7

Les deux exercices portent sur la même équation du premier degré : le quatrième la donne toute faite, le septième demande de la produire. Ce n'est pas une redite. Le tableau se lit en deux entrées.

Ce n'est pas un corrigé. Une réponse fausse n'y est pas comptée, elle est lue : deux erreurs identiques en apparence peuvent venir de raisonnements très différents, et c'est ce qui décide de la reprise à proposer.

Exercice 1 — Multiplier et diviser des nombres relatifs

A = -3 × (-7) = -21

La règle des signes du produit n'est pas appliquée, ou le signe est recopié depuis les facteurs. À distinguer nettement de l'addition, où deux négatifs donnent bien un négatif : c'est cette interférence qui produit l'erreur.

A = 21 juste, mais C = -2 × 5 × (-3) = -30

La règle tient sur deux facteurs et lâche sur trois : les signes sont comptés au jugé au lieu d'être dénombrés. Compter les facteurs négatifs n'est pas installé.

B = -48 ÷ 6 = 8

Le signe disparaît à la division. La règle est apprise pour la multiplication et non transférée — alors que c'est la même.

D = (-30)/(-5) = -6

L'écriture fractionnaire masque la division : l'élève voit deux signes moins et en conserve un. Si B est juste et D faux, c'est la notation qui bloque, pas la règle.

↳ Une seule règle pour × et ÷ : compter les facteurs négatifs. La faire énoncer ainsi, plutôt qu'en quatre cas à mémoriser, supprime trois de ces quatre erreurs.

Exercice 2 — Calculer moyenne, médiane et étendue

La somme est divisée par le nombre de valeurs différentes

L'effectif est mal identifié : 5 apparaît deux fois et n'est compté qu'une. La moyenne est une procédure, pas un partage équitable.

Médiane : la valeur du milieu de la liste non triée

La série n'est pas ordonnée avant de chercher la médiane. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle donne une réponse plausible — donc invisible sans le détail des étapes.

Médiane calculée juste, mais « elle signifie la moyenne »

La valeur est trouvée, son sens n'est pas connu : la moitié des élèves met moins de temps, l'autre moitié plus. C'est exactement ce que la question 2 cherche.

Étendue : 30 (le maximum recopié)

L'étendue est confondue avec la plus grande valeur. La soustraction n'est pas faite : le mot n'est rattaché à aucun calcul.

↳ Trois indicateurs, trois questions distinctes. Un élève qui calcule la moyenne et rate la médiane n'a pas un problème de statistiques : il ne trie pas. Le dire ainsi suffit souvent.

Exercice 3 — Calculer une probabilité

P(verte) = 3

L'effectif est donné à la place de la probabilité. Le rapport au total n'est pas formé : une probabilité n'est pas encore un nombre entre 0 et 1.

P(verte) = 3/9

Le dénominateur est le nombre de boules non vertes au lieu du total. Même racine que l'erreur « partie sur reste » des fractions.

P(pas rouge) = 5/12

La probabilité de l'événement contraire est donnée à la place. L'énoncé a été lu jusqu'à « rouge » et pas au-delà.

Question 3 : « rouge » sans comparer 5/12 et 4/12

La bonne réponse, mais obtenue en comparant 5 et 4 sans passer par les probabilités. Cela marche ici parce que le total est le même — et cela cessera de marcher dès que ce ne sera plus le cas.

↳ La probabilité de 4ème est une fraction déguisée : les erreurs sont les mêmes que sur les fractions, au même endroit. Le vérifier permet souvent de traiter les deux chapitres d'un coup.

Exercice 4 — Appliquer un pourcentage d'évolution

15 % de 240 = 15

Le pourcentage est lu comme une quantité. La proportion n'est pas mise en rapport avec le total.

240 ÷ 15

L'opération est choisie au hasard entre les deux nombres. Rien n'indique que l'élève sait ce qu'il cherche.

60 € + 10 % = 70 €

Les 10 % sont ajoutés comme 10 euros. C'est la même confusion que dans la première erreur, mais dans une situation d'évolution — donc plus coûteuse.

La hausse est calculée (6 €) et donnée comme réponse

Le calcul est juste, la question portait sur le nouveau prix. Réussite partielle : l'étape manquante est une addition, pas une notion.

↳ Distinguer « la hausse » du « prix après hausse » à chaque énoncé. Cette seule question — que cherche-t-on, la variation ou la valeur finale ? — supprime la moitié des erreurs de tout le chapitre.

Exercice 5 — Calculer une aire, un volume, convertir

Aire du triangle = 6 × 3 = 18 cm²

La division par 2 est oubliée : la formule du rectangle est appliquée au triangle. Le résultat est exactement le double, ce qui rend l'erreur facile à nommer.

La hauteur est prise sur un côté oblique

La hauteur n'est pas identifiée comme perpendiculaire à la base, malgré le codage. La figure est lue globalement, pas selon ses éléments.

1 m³ = 100 dm³

Le rapport des volumes est cru égal à celui des aires. L'élève applique un rang mémorisé sans le rattacher à la dimension.

Volume du cube = 5 × 3 = 15, ou 5 × 6

L'arête est multipliée par le nombre de faces ou de dimensions au lieu d'être élevée au cube. La puissance troisième n'est pas reliée aux trois directions.

↳ Les deux erreurs de conversion se règlent par le découpage dessiné, pas par le tableau : 1 m² fait 100 dm², 1 m³ en fait 1 000, et la raison se voit.

Exercice 6 — Reconnaître et construire une transformation

La symétrie de centre O est traitée comme une symétrie axiale

Le demi-tour n'est pas perçu : l'élève réfléchit par rapport à une droite imaginaire passant par O. C'est une image mentale qui manque, pas une technique.

Le symétrique est juste en forme mais O n'est pas le milieu de [AA']

La propriété caractéristique n'est pas utilisée comme contrôle. Le tracé est fait à vue, le quadrillage n'est pas compté.

La translation est faite dans le sens inverse (de B vers A)

Le vecteur est lu à l'envers. Le sens de la transformation n'est pas rattaché à l'ordre des deux points nommés.

La translation est traitée comme une symétrie (figure retournée)

Les deux transformations sont confondues. Si la question a) est réussie et la b) ratée ainsi, c'est la symétrie qui a été sur-apprise et sert de modèle unique.

↳ Faire tourner la feuille d'un demi-tour autour de O pour la symétrie, faire glisser un calque pour la translation. Les deux gestes séparent les deux transformations plus sûrement que dix constructions.

Exercice 7 — Enchaîner deux évolutions en pourcentage

« Anaïs a raison, le prix revient à 400 € »

Les pourcentages sont crus additifs : +20 % puis -20 % feraient 0. C'est l'erreur que cet exercice cherche, et elle est majoritaire — y compris chez des élèves qui calculent parfaitement les questions 1 et 2.

Question 2 : 480 - 80 = 400 (les 20 % repris sur 400)

La seconde évolution est appliquée au prix initial et non au prix courant. C'est la même croyance que ci-dessus, cette fois visible dans le calcul.

Questions 1 et 2 justes (480 puis 384), mais réponse 3 : « oui »

Les résultats sont là et ne sont pas confrontés à l'affirmation. Calculer et conclure sont deux gestes distincts — seul le premier a été fait.

« Non » sans citer 384 €

La conclusion est juste, la justification manque alors qu'elle est demandée. Impossible de savoir si l'élève a raisonné ou retenu que « ça ne revient jamais pareil ».

↳ C'est le meilleur point d'entrée vers les coefficients multiplicateurs de 3ème : 1,2 × 0,8 = 0,96, et le prix perd 4 %. Le montrer une fois, après cet exercice, vaut mieux que de l'annoncer avant.

Croiser l'exercice 4 et l'exercice 7

L'exercice 4 demande d'appliquer une hausse de 10 % ; l'exercice 7 en enchaîne deux. La technique est la même — c'est le raisonnement qui change, et c'est là que presque tous les élèves basculent.