🏷 Thème : Construction

Ce qu'il faut savoir

Construire n'est pas dessiner. Un dessin cherche à ressembler ; une construction est une suite d'opérations dont chacune est justifiée par une propriété, et dont le résultat est exact parce que la méthode l'est. C'est pourquoi une figure obtenue en mesurant sur le papier ne vaut rien, même si elle est jolie : on y a supposé ce qu'il fallait obtenir.

Ce que fait vraiment le compas

Le compas ne sert pas à tracer des ronds. Il matérialise une idée : l'ensemble des points situés à une distance donnée d'un point donné. De là ses deux seuls usages, dont découle tout le reste — reporter une longueur d'un endroit à un autre, et trouver un point soumis à deux distances imposées, à l'intersection de deux arcs.

Cette lecture explique d'un coup les constructions du répertoire. La médiatrice d'un segment ? L'ensemble des points à égale distance de ses deux extrémités : deux arcs de même rayon centrés en A et en B se coupent en deux points, et la droite qui les joint est la médiatrice. Le symétrique d'un point par rapport à une droite ? Le même geste. Un triangle dont on connaît les trois côtés ? Un segment, puis deux arcs.

« Construire un rectangle sans équerre » : le cœur du chapitre

La consigne est un attendu de 4ème, et elle a l'air d'une brimade. Elle est en réalité tout le programme de géométrie en une phrase. Sans équerre, impossible de poser l'angle droit : il faut le faire découler d'une propriété.

Dans les deux cas, l'angle droit n'est pas tracé : il est obtenu. C'est exactement la bascule que la géométrie du collège demande — de l'instrument vers la propriété — et c'est la même que celle de la démonstration. Un élève qui sait construire un rectangle sans équerre a compris ce qu'est une preuve, qu'il le sache ou non.

Données partielles : la figure peut ne pas exister, ou ne pas être unique

Le programme de 5ème demande de construire des triangles « à partir de données partielles ». La formule cache une vraie question de mathématiques : les données suffisent-elles, et qu'obtient-on exactement ?

• Parfois rien. Trois longueurs ne donnent pas toujours un triangle : avec 2 cm, 3 cm et 9 cm, les deux arcs de compas ne se coupent jamais. La condition est que chaque côté reste plus court que la somme des deux autres — et le compas la montre avant qu'on la démontre.
• Parfois deux figures. Les arcs se coupent en général en deux points, de part et d'autre du segment de base : les deux triangles obtenus sont symétriques l'un de l'autre. On en choisit un, et il faut savoir que l'autre était tout aussi correct.
• Parfois trop. Des données surabondantes peuvent se contredire — trois angles et une longueur qui ne s'accordent pas. La construction bloque, et c'est une information, pas un échec.

Un programme de construction est d'ailleurs un petit algorithme : une suite d'instructions ordonnées, qu'on exécute sans interpréter et qui produit toujours la même figure. Le programme suggère d'en faire tracer un pentagone régulier à la règle et au compas — un objet qu'aucune formule ne donne, et que seule la suite des gestes construit.

Les erreurs classiques

• 1.Mesurer sur la figure ce qu'on devait construire. Relever une longueur au réglet parce que « ça tombe juste » revient à lire la réponse sur le brouillon. La figure est le résultat de la construction ; elle ne peut pas en être la source.
• 2.Effacer les traits de construction. Les arcs de cercle ne salissent pas la copie : ils sont la preuve que la méthode a été suivie. Une figure nette sans aucun trait apparent est indiscernable d'un dessin fait à vue.
• 3.Confondre les quatre droites remarquables du triangle. La médiatrice passe par le milieu d'un côté perpendiculairement à lui, la médiane joint un sommet au milieu du côté opposé, la hauteur part d'un sommet perpendiculairement au côté opposé, la bissectrice coupe un angle en deux. Quatre définitions, quatre points de concours différents.
• 4.Croire que trois longueurs donnent toujours un triangle. Avant de tracer, on compare la plus grande à la somme des deux autres. Si elle la dépasse, aucune figure n'existe — et le dire est la bonne réponse.
• 5.Ne pas lire le programme de construction jusqu'au bout. L'ordre des étapes n'est pas décoratif : commencer par le mauvais élément oblige souvent à tout reprendre, parce qu'un point placé trop tôt fige la figure.
• 6.Construire sans nommer la propriété. Quand la question demande de construire et de justifier, le tracé ne vaut que la moitié. Dire pourquoi la figure obtenue est bien celle qu'on cherchait — quelle propriété garantit l'angle droit, le parallélisme, l'égalité — vaut l'autre moitié.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• Le vocabulaire de base : point, droite, segment, demi-droite, milieu, et le codage des figures.
• Le cercle comme ensemble des points à distance donnée d'un centre — c'est de là que vient tout le reste.
• Les instruments et leur rôle exact : la règle graduée mesure, l'équerre vérifie un angle droit, le compas reporte des longueurs.
• Les droites perpendiculaires et parallèles, et les symétries, dont les constructions relèvent du même geste.

Ce que ça prépare

• En 5ème : les triangles à partir de données partielles, les hauteurs et les médianes, les parallélogrammes construits à partir de leurs diagonales.
• En 4ème : le rectangle sans équerre, les droites remarquables dans les triangles particuliers, et les représentations de solides — patrons et perspective cavalière relèvent de la même exigence.
• La démonstration, qui est une construction dont les gestes sont remplacés par des phrases : mêmes propriétés, même ordre imposé, même exigence de justification.
• Les configurations de Thalès et de Pythagore, qu'on ne reconnaît bien sur une figure que si l'on sait comment elle a été fabriquée — et le triangle rectangle, dont le cercle circonscrit fournit justement l'angle droit sans équerre.