🏷 Thème : Angles

Ce qu'il faut savoir

Le programme de 5ème range presque tout ce chapitre en automatismes — reconnaître, nommer, mesurer — et ne lui laisse qu'un seul objectif d'apprentissage : « caractériser le parallélisme par les angles ». Cela dit exactement où est le travail. Un angle ne sert pas d'abord à être mesuré ; il sert à démontrer, et notamment à démontrer que deux droites sont parallèles.

Ce qui doit être automatique

Deux confusions de vocabulaire coûtent cher parce qu'elles se ressemblent : deux angles supplémentaires ont pour somme 180° — ils se recollent en un angle plat — tandis que deux angles complémentaires ont pour somme 90°. Et les angles opposés par le sommet, formés par deux droites sécantes de part et d'autre du point d'intersection, sont toujours égaux, sans aucune condition de parallélisme.

Deux paires à savoir reconnaître

Quand deux droites (d) et (d′) sont coupées par une troisième, appelée sécante, les angles formés se rangent en paires qui renseignent sur le parallélisme.

Les repères visuels du « Z » pour les alternes-internes et du « F » pour les correspondants aident à les repérer vite, mais ils ne remplacent pas la définition : sur une figure tournée ou renversée, le Z devient un S et le F une équerre à l'envers. Ce qui décide reste la position par rapport à la sécante, pas la forme de la lettre.

La propriété et sa réciproque : calculer, ou démontrer

C'est la même discipline que pour Pythagore et pour Thalès, et elle se règle de la même façon : on regarde ce que l'énoncé donne. Le parallélisme est-il fourni — codé sur la figure, écrit dans le texte ? Alors on calcule. Est-ce lui qu'on demande d'établir ? Alors c'est la réciproque, et le sens direct serait circulaire.

Une exigence de rédaction va avec, et elle est souvent oubliée : l'égalité de deux angles ne prouve rien tant qu'on n'a pas dit de quelle paire il s'agit et par rapport à quelle sécante. Deux angles égaux pris au hasard sur la figure ne démontrent aucun parallélisme.

Pourquoi la somme des angles d'un triangle fait 180°

Le programme ne demande pas seulement de connaître cette somme, mais de savoir la démontrer — et la démonstration attendue est précisément celle qui utilise l'objectif précédent : les deux propriétés du chapitre s'emboîtent, l'une est l'outil de l'autre.

On trace par le sommet A la parallèle au côté [BC]. Les côtés (AB) et (AC) deviennent alors deux sécantes à deux droites parallèles : l'angle en B se retrouve reporté en A par alternes-internes, l'angle en C également. En A, ces deux angles reportés et l'angle  lui-même se recollent en un angle plat. Le 180° n'est donc pas un nombre à retenir : c'est l'angle plat lui-même, déplacé.

Deux conséquences immédiates. Connaître deux angles d'un triangle donne toujours le troisième par soustraction. Et un triangle ayant deux angles obtus n'existe pas — leurs deux mesures dépasseraient à elles seules 180°. C'est aussi ce qui rend prévisibles les angles des triangles particuliers : 60° partout dans l'équilatéral, deux angles égaux dans l'isocèle, deux angles complémentaires dans le triangle rectangle.

Les erreurs classiques

• 1.Croire qu'un angle grandit quand on allonge ses côtés. C'est la confusion la plus profonde, et elle survit longtemps : un angle est un écartement, pas une longueur. Prolonger les deux demi-droites ne change rien à sa mesure — c'est d'ailleurs souvent nécessaire pour pouvoir poser le rapporteur.
• 2.Supposer le parallélisme au lieu de le lire. La propriété directe exige que les droites soient parallèles : l'énoncé doit le dire, ou la figure le coder. Deux droites qui en ont l'air ne suffisent pas, et c'est justement ce que la réciproque sert à établir.
• 3.Appliquer la propriété à une paire qui n'en est pas une. Alternes-internes et correspondants sont deux positions précises. Beaucoup d'erreurs viennent d'une égalité écrite entre deux angles qui ne forment ni l'une ni l'autre — souvent parce qu'ils sont alternes-externes, ou qu'ils regardent une autre sécante.
• 4.Confondre supplémentaires et complémentaires. 180° pour les premiers, 90° pour les seconds. Repère utile : on complète jusqu'à l'angle droit, on supplée jusqu'à l'angle plat.
• 5.Lire la mauvaise graduation du rapporteur. L'instrument porte deux échelles qui se lisent en sens inverse, et 40° s'y lit aussi 140°. Le contrôle est immédiat : un angle visiblement aigu doit donner moins de 90°, un angle obtus davantage. Le regard tranche avant la graduation.
• 6.Utiliser le sens direct pour conclure au parallélisme. Écrire « ces angles sont alternes-internes donc égaux, donc les droites sont parallèles » suppose ce qu'on veut prouver. Il faut partir de l'égalité constatée ou calculée et invoquer la réciproque, en la nommant.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• La notion d'angle comme écartement de deux demi-droites de même origine, et son sommet.
• L'usage du rapporteur et de l'équerre, et le tracé de la bissectrice.
• Les droites perpendiculaires et parallèles, et leur codage sur une figure.
• Les angles particuliers du cycle 3 : droit, aigu, obtus, plat.

Ce que ça prépare

• La somme des angles d'un triangle et sa démonstration, puis les triangles particuliers — tout le calcul d'angles de 5ème.
• Les parallélogrammes, où le parallélisme des côtés se traduit immédiatement en égalités d'angles, et la translation en 4ème.
• Thalès en 3ème, dont toutes les configurations reposent sur des parallèles qu'il faut d'abord établir.
• La trigonométrie, qui relie enfin les angles aux longueurs — jusque-là, les angles ne parlaient qu'aux angles.
• Une curiosité que le programme suggère lui-même : les Éléments d'Euclide, dont le Livre I démontre déjà ces propriétés du parallélisme, il y a plus de deux mille ans.