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Les iguanes c'est ultra bizarre.
Vincent Delerm
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, symétrie, vous propose cinq leçons, deux pages de questions flash, neuf devoirs (3 DS, 6 DM) en 6ème et 5ème et trois fiches de révision.
Deux transformations, deux moments. La symétrie axiale s'apprend au cycle 3 : on plie le long d'un axe, et la figure se retourne. Le demi-tour — que le programme nomme aussi symétrie centrale — s'apprend en 5ème : on pivote de 180° autour d'un point, et la figure ne se retourne pas. Elles conservent toutes deux longueurs, angles et aires ; c'est le retournement, lui, qui les sépare.
📂 Thème parent : géométrie (363)
📗 6ème — 1 devoir
Le devoir numéro 2 met en jeu plusieurs compétences : la géométrie de base (construction de points et segments, symétrie), la résolution de tableaux numériques utilisant des produits et sommes spécifiques, et la visualisation spatiale pour organiser et coder des éléments dans un espace délimité.
📘 5ème — 8 devoirs
Ce devoir mobilise des compétences de construction géométrique, notamment la symétrie centrale et l'identification du milieu d'un segment. Il évalue aussi la maîtrise du calcul avec les nombres relatifs, en addition et en soustraction. Enfin, il vérifie les compétences sur les fractions : simplifier, compléter des égalités de fractions et comparer des nombres rationnels.
Ce devoir évalue les compétences sur la symétrie centrale, le repérage, le calcul d'aire, la proportionnalité et la simplification d'écritures littérales.
Ce devoir mobilise des compétences variées en mathématiques : la reproduction et la symétrie de figures sur quadrillage, la compréhension et l'expression de proportions sous forme de fractions, leur simplification, ainsi que le raisonnement logique et critique face à une situation concrète.
Ce devoir met en œuvre plusieurs compétences : la résolution de problèmes numériques et logiques (âges), la maîtrise des fractions et du calcul dans un contexte concret (répartition de cupcakes), ainsi que la géométrie de construction et de représentation (tracés précis, symétrie, utilisation des instruments).
Ce devoir mobilise des compétences transversales et géométriques. L'étude du fonctionnement d'un vélo fait appel à la proportionnalité, aux calculs de longueurs et à la compréhension des mécanismes circulaires. L'exercice géométrique développe la rigueur du raisonnement, les constructions à partir de symétries. Enfin, une activité ludique basée sur une multiplication incomplète stimule la logique.
L'exercice de symétrie centrale renforce la maîtrise des propriétés géométriques. Un exercice de logique présenté sous forme de défi stimule le raisonnement et l'esprit critique. Et une activité de classement chronologique de dates historiques permet d'articuler connaissances en histoire et compétences mathématiques.
Ce devoir mobilise des compétences en Espace et géométrie (symétrie centrale, mesure d'angles), en Nombres et calculs (modélisation et résolution de problèmes), ainsi qu'en Organisation et gestion de données (traduction d'un problème en équation). Il développe le raisonnement logique et la modélisation mathématique.
Ce devoir mobilise des compétences en Espace et géométrie (symétrie centrale, mesure d'angles), en Nombres et calculs (modélisation et résolution de problèmes), ainsi qu'en Organisation et gestion de données (traduction d'un problème en équation). Il développe le raisonnement logique et la modélisation mathématique.
Fiche de révision thématique sur les transformations isométriques du plan pour le DNB de 3ème. Couvre les quatre transformations au programme : symétrie axiale, symétrie centrale, translation et rotation. Rappels de cours, propriétés et exemples d'application.
Fiche de révision sur la symétrie centrale, de la 5ème jusqu'au brevet. Couvre la définition du symétrique d'un point par rapport à un centre, la construction du symétrique d'une figure, les propriétés de conservation, et les liens avec les autres transformations. Exercices progressifs avec correction.
Fiche de révision sur la symétrie axiale, de la 6ème jusqu'au brevet. Couvre la reconnaissance d'axes de symétrie, la construction du symétrique d'un point ou d'une figure, les propriétés de conservation (distances, angles), et les applications en géométrie. Exercices progressifs avec correction.
Deux transformations portent ce nom, elles s'apprennent à deux moments différents, et elles ne se définissent pas de la même façon. Les confondre est l'erreur la plus coûteuse du chapitre : ce n'est pas une nuance de vocabulaire, ce sont deux gestes qui donnent des figures différentes.
La symétrie axiale s'apprend au cycle 3. Au collège, elle n'est plus un objectif d'apprentissage mais un automatisme : on doit savoir construire un symétrique par rapport à un axe, sur quadrillage comme sur feuille blanche.
Le demi-tour s'apprend en 5ème. Le programme en fait un objectif à part entière : « définir le demi-tour, ou symétrie centrale », puis « connaitre les propriétés du demi-tour ».
Une précision de calendrier, car le mot change en même temps que le programme : le programme du cycle 4 qui emploie « demi-tour » s'applique en 5ème à la rentrée 2026, en 4ème en 2027 et en 3ème en 2028. D'ici là, les classes de 4ème et de 3ème suivent encore le programme précédent, qui dit symétrie centrale et ne connaît pas le mot « demi-tour ». Les deux termes désignent la même transformation : aucun élève n'est pris en défaut par l'un ou par l'autre.
Les deux termes sont officiels, mais le programme ne les emploie pas à parts égales : il écrit demi-tour partout, et ne mentionne « symétrie centrale » qu'une seule fois, dans la ligne même où il introduit le synonyme. Le choix n'est pas cosmétique — demi-tour dit le geste (on pivote d'un demi-tour, soit 180°, autour d'un point) là où symétrie centrale le rapproche dangereusement de la symétrie axiale, dont il diffère justement.
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite, appelée l'axe. Pour un point : le symétrique de A par rapport à (d) est le point M tel que (d) soit la médiatrice du segment [AM] — la perpendiculaire à [AM] passant par son milieu. Un point situé sur l'axe est son propre symétrique.
Le demi-tour de centre I associe au point A le point A′ tel que I soit le milieu du segment [AA′]. Autrement dit, A et A′ sont symétriques par rapport à I lorsque I est le milieu de ce qui les sépare. Le centre I est le seul point qui soit son propre symétrique. On construit A′ en traçant la demi-droite [AI), qu'on prolonge, puis le cercle de centre I et de rayon IA : il recoupe la demi-droite en A′.
Le demi-tour conserve les longueurs, les mesures d'angles, les périmètres et les aires : une figure et son image se superposent exactement. Et il ajoute une propriété que la symétrie axiale n'a pas — l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle (confondue avec elle si le centre lui appartient).
Les deux transformations conservent longueurs, angles et aires ; les distinguer par leurs propriétés de conservation est donc impossible. La vraie différence est ailleurs, et elle se voit à l'œil nu.
La symétrie axiale retourne la figure, comme un miroir. Pour superposer une figure et son image, il faut la décoller de la feuille et la retourner. Une lettre F devient un F à l'envers, illisible.
Le demi-tour ne retourne rien : il fait pivoter. On superpose la figure et son image en faisant simplement tourner le calque sur la table, sans jamais le soulever. Le F reste un F, la tête en bas.
De là découle le critère le plus rapide sur une figure : on regarde l'image d'une droite. Par un demi-tour, elle est toujours parallèle à la droite de départ. Par une symétrie axiale, ce n'est vrai que dans deux cas : si la droite est parallèle à l'axe, ou si elle lui est perpendiculaire — auquel cas elle est même sa propre image. Partout ailleurs, la droite et son image se coupent, et le point de croisement est sur l'axe.
Cette distinction n'est pas un raffinement : c'est un attendu explicite de la 4ème, où l'on demande de dire si deux figures sont images l'une de l'autre par une symétrie axiale, dont on identifie l'axe, ou par un demi-tour, dont on identifie le centre. La réponse ne vaut que si l'élément — axe ou centre — est nommé avec elle.
On croit volontiers que ces deux propriétés vont de pair, qu'une figure « bien symétrique » a les deux. C'est faux dans les deux sens, et deux figures très ordinaires le prouvent.
· Le parallélogramme quelconque : aucun axe, un centre — le point d'intersection de
ses diagonales.
· Le triangle équilatéral : trois axes, aucun centre.
· Le triangle isocèle non équilatéral : un axe, aucun centre.
· Le rectangle et le losange : deux axes, un centre. Le carré : quatre axes, un centre.
· Le cercle : une infinité d'axes, un centre.
Le parallélogramme est l'exemple à retenir, parce qu'il est partout : il se retourne parfaitement par demi-tour autour du croisement de ses diagonales, et pourtant aucun pliage ne le superpose à lui-même. C'est d'ailleurs ce qui explique qu'il arrive juste après le demi-tour dans la progression.
Au brevet, la symétrie apparaît rarement comme question isolée : elle sert à justifier une égalité de longueurs ou d'angles au milieu d'une démonstration, à compléter une figure, ou à reconnaître un parallélogramme. Elle est aussi la base des exercices de programmation de tracés, où l'on décrit une frise ou un pavage par les transformations qui l'engendrent.
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