🏷 Thème : Fractions

Ce qu'il faut savoir

Une fraction est une division

Le trait de fraction est un signe de division : écrire trois quarts, c'est écrire 3 ÷ 4. Cette phrase paraît anodine et elle débloque tout le chapitre — c'est parce qu'une fraction est un quotient qu'on peut la simplifier, la comparer, l'additionner ou la transformer en nombre décimal.

Additionner exige un dénominateur commun — multiplier, non

C'est la distinction qui coûte le plus de points du cycle 3 au lycée, et elle s'explique en une image. Pour additionner, il faut que les parts soient de la même taille : on ne peut pas ajouter des tiers à des quarts sans les convertir d'abord. D'où le dénominateur commun.

Pour multiplier, rien de tel n'est nécessaire : multiplier par deux tiers, c'est prendre les deux tiers de quelque chose. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans aucune mise au même dénominateur. Chercher un dénominateur commun avant une multiplication est un travail inutile — et une occasion d'erreur supplémentaire.

Simplifier : seulement à travers des produits

On peut simplifier un facteur commun au numérateur et au dénominateur, jamais un terme pris dans une somme. Dans une écriture comme (3 + x) ÷ 3, le 3 du haut et le 3 du bas ne se simplifient pas : le premier est ajouté, le second divise. Ils n'ont pas le même rôle, et l'apparence trompe. La règle tient en une ligne : on ne simplifie que ce qui multiplie.

Pourquoi les fractions ne sont presque jamais l'objet d'une question

À peine un sujet de brevet sur dix évalue les fractions comme telles — le compte exact figure dans l'accordéon des annales, ci-dessus. Ce n'est pas qu'elles y sont rares : c'est qu'elles y sont partout, mais toujours au service d'autre chose :

• Une probabilité s'écrit presque toujours sous forme de fraction, et se simplifie.
• Un coefficient de proportionnalité, une échelle, un pourcentage sont des quotients.
• Les rapports du théorème de Thalès sont des fractions qu'on égalise.
• Une équation dont le coefficient ne tombe pas juste se résout en fractions.
• Une fréquence en statistiques est un effectif divisé par un total.

Autrement dit : on ne perd pas de points « sur les fractions », on en perd sur un exercice de probabilités ou de Thalès à cause des fractions. C'est ce qui rend ce chapitre rentable à travailler bien au-delà de ce que son poids apparent laisse croire.

Les erreurs classiques

• 1.Additionner les dénominateurs. Écrire que un demi plus un tiers font deux cinquièmes est l'erreur la plus répandue des mathématiques du collège. Le contre-exemple qui la détruit en trois secondes : par ce raisonnement, un demi plus un demi ferait deux quarts, c'est-à-dire un demi — alors que tout le monde sait que deux moitiés font un entier.
• 2.Chercher un dénominateur commun pour multiplier. Le réflexe acquis pour l'addition est appliqué à tort. Non seulement c'est inutile, mais les calculs inutilement gros qui en résultent produisent leurs propres erreurs.
• 3.Simplifier à travers une somme. On ne barre que des facteurs. Dès qu'un signe + ou − apparaît au numérateur ou au dénominateur, la simplification est interdite tant qu'on n'a pas factorisé. Cette erreur survit jusqu'au lycée : elle vaut la peine d'être tuée tôt.
• 4.Oublier de simplifier le résultat. Une fraction rendue non simplifiée est souvent comptée fausse, ou coûte un point. Le réflexe de fin d'exercice : le numérateur et le dénominateur ont-ils encore un diviseur commun ? C'est là que le PGCD devient utile.
• 5.Croire qu'une fraction est plus petite que 1. Cinq tiers valent plus que l'unité. Une fraction est inférieure à 1 uniquement lorsque son numérateur est plus petit que son dénominateur — un repère qui permet aussi de contrôler un résultat d'un coup d'œil.
• 6.Confondre valeur exacte et valeur approchée. Un tiers n'admet pas d'écriture décimale exacte : 0,33 en est une valeur approchée. Quand l'énoncé demande la valeur exacte, on garde la fraction — et l'on n'arrondit qu'à la toute fin d'un calcul, jamais au milieu.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• La division et la numération décimale : une fraction n'est rien d'autre qu'une division qu'on n'a pas effectuée.
• Les tables de multiplication et le calcul mental, sans lesquels la simplification reste laborieuse.
• Les multiples et diviseurs communs, jusqu'au PGCD qui rend la simplification immédiate.

Ce que ça prépare

• Les nombres relatifs en écriture fractionnaire, puis les puissances et l'écriture scientifique.
• Le calcul littéral, où les mêmes règles s'appliquent à des lettres — et où l'erreur de simplification à travers une somme devient coûteuse.
• Toutes les notions qui reposent sur un quotient : proportionnalité, probabilités, fréquences, Thalès.
• Au lycée : le calcul algébrique sur les fractions rationnelles, où tout ce qui précède se retrouve tel quel.