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Si vous jouez la Caro-Kann quand vous êtes jeune, que jouerez-vous quand vous serez vieux ?
attribuée à Bent Larsen (Sur mon T-shirt)
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.
Ce thème, nombres-relatifs, vous propose quatre leçons, cinq pages de questions flash, deux pages d'exercices (800 fiches), huit devoirs (1 DS, 7 DM) en 6ème et 5ème, une fiche de révision, une épreuve d'annales et une page de problèmes (400 fiches).
Un nombre relatif porte un signe et une distance à zéro : +5, −3, ou zéro lui-même. Introduits en 5ème pour représenter températures, altitudes ou dettes, puis complétés en 4ème par la multiplication et la division, ils deviennent la grammaire de tout le calcul qui suit — une erreur de signe fait rater l'exercice entier.
📂 Thème parent : calcul numérique (87)
📗 6ème — 1 devoir
Ce devoir maison travaille le repérage sur un échiquier avec les déplacements de la Dame, la résolution d'un problème d'ascenseur avec additions et soustractions relatives, et un puzzle logique de placement de pièces dans une grille avec contraintes.
📘 5ème — 7 devoirs
Trois engrenages de 8, 12 et 20 dents tournent ensemble : au bout de combien de dents leurs marques se retrouvent-elles alignées ? Le problème conduit aux multiples communs, sans que le mot soit donné au départ. La deuxième partie prépare le chapitre de proportionnalité — recette à adapter, tableau à compléter et coefficient, remise en pourcentage, tableau à reconnaître comme proportionnel ou non. La troisième révise les priorités opératoires, le rangement de nombres relatifs et l'aire d'une figure composée d'un carré et d'un triangle rectangle.
Quatre équipes, six matchs et un classement à trous : il faut reconstituer victoires, nuls, défaites et points à partir de quelques indices, puis contrôler le tableau en comptant les matchs de deux façons. La deuxième partie prépare le chapitre sur les nombres relatifs — températures à ranger et à placer sur une droite graduée, comparaisons, profondeur d'un plongeur, opposés. La troisième révise la fraction d'une quantité, le périmètre et l'aire d'un rectangle, puis les priorités opératoires avec des carrés et des cubes.
Ce devoir mobilise des compétences de construction géométrique, notamment la symétrie centrale et l'identification du milieu d'un segment. Il évalue aussi la maîtrise du calcul avec les nombres relatifs, en addition et en soustraction. Enfin, il vérifie les compétences sur les fractions : simplifier, compléter des égalités de fractions et comparer des nombres rationnels.
Ce devoir maison travaille les propriétés des angles dans un triangle avec recherche de contraintes arithmétiques (multiples), le repérage et l'ordre chronologique des dates historiques avec nombres relatifs, et le calcul d'aires et de pourcentages à travers un problème géométrique viral sur les réseaux sociaux.
L'exercice de symétrie centrale renforce la maîtrise des propriétés géométriques. Un exercice de logique présenté sous forme de défi stimule le raisonnement et l'esprit critique. Et une activité de classement chronologique de dates historiques permet d'articuler connaissances en histoire et compétences mathématiques.
Compétences mobilisées : identifier et utiliser les propriétés des figures usuelles (cercle, quadrilatère), effectuer des calculs avec des nombres relatifs, interpréter une situation pour construire une démarche de résolution, exploiter des données issues d'un énoncé ou d'un visuel.
Le devoir n°8 propose deux exercices visant à développer la logique et la réflexion des élèves. Nombres relatifs, calculs d'aires, initiation aux équations.
Fiche de révision thématique sur les nombres relatifs en 5ème. Rappels sur la notion de nombres relatifs, comparaison, addition et soustraction. Exercices d'application progressifs.
Le thème nombres-relatifs n'apparaît que dans un des 207 sujets de brevet du site, celui de 2014.
Corrigé officiel APMEP du Brevet des collèges, session Amérique du Nord de juin 2014.
Un nombre relatif porte deux informations à la fois : un signe, qui dit de quel côté de zéro il se trouve, et une distance à zéro, qui dit de combien il s'en éloigne. Séparer ces deux choses est la clé de tout le chapitre — la plupart des erreurs viennent de leur confusion.
Sur une droite graduée, comparer devient immédiat : le plus grand est le plus à droite. C'est pourquoi −3 est plus grand que −7, alors que 3 est plus petit que 7. Entre deux nombres négatifs, celui dont la distance à zéro est la plus petite est le plus grand : une dette de 3 € vaut mieux qu'une dette de 7 €.
C'est le geste qui unifie le chapitre, et il vaut la peine d'être posé une fois pour toutes : a − b vaut a + (−b). Une fois cette conversion faite, il n'y a plus de soustractions à traiter — plus que des additions, et une seule règle à connaître.
Additionner deux relatifs. Signes identiques : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. Signes différents : on soustrait la plus petite distance de la plus grande, et on prend le signe de celui qui est le plus éloigné de zéro.
L'image de la dette et de la recette rend la règle inutile à mémoriser : deux dettes s'ajoutent ; une dette et une recette se compensent, et il reste ce qui l'emporte.
La règle des signes de la multiplication passe pour une bizarrerie qu'on subit. Elle ne l'est pas : elle est forcée si l'on veut que la distributivité continue de fonctionner.
Partons de (−1) × (1 + (−1)). La parenthèse vaut 0, donc le produit vaut 0.
Développons maintenant : (−1) × 1 + (−1) × (−1), c'est-à-dire −1 + (−1) × (−1). Pour que le total fasse 0, il faut que (−1) × (−1) vaille +1. Aucune autre valeur ne convient.
En pratique, on compte les facteurs négatifs : un nombre pair de signes moins donne un résultat positif, un nombre impair donne un résultat négatif. Cette formulation évite d'appliquer la règle deux facteurs à la fois et de s'y perdre au-delà de trois.
Au brevet, les nombres relatifs ne sont pratiquement jamais évalués pour eux-mêmes — c'est une notion de 5ème, acquise depuis longtemps quand arrive l'examen. Mais ils sont partout : dans les coordonnées d'un point, dans les températures d'un exercice de statistiques, dans les coefficients d'une équation, dans chaque calcul littéral. Une erreur de signe ne coûte pas un point « sur les relatifs » : elle fait rater l'exercice qui les utilisait.
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