🏷 Thème : Nombres-relatifs

Ce qu'il faut savoir

Un nombre relatif porte deux informations à la fois : un signe, qui dit de quel côté de zéro il se trouve, et une distance à zéro, qui dit de combien il s'en éloigne. Séparer ces deux choses est la clé de tout le chapitre — la plupart des erreurs viennent de leur confusion.

Sur une droite graduée, comparer devient immédiat : le plus grand est le plus à droite. C'est pourquoi −3 est plus grand que −7, alors que 3 est plus petit que 7. Entre deux nombres négatifs, celui dont la distance à zéro est la plus petite est le plus grand : une dette de 3 € vaut mieux qu'une dette de 7 €.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé

C'est le geste qui unifie le chapitre, et il vaut la peine d'être posé une fois pour toutes : a − b vaut a + (−b). Une fois cette conversion faite, il n'y a plus de soustractions à traiter — plus que des additions, et une seule règle à connaître.

L'image de la dette et de la recette rend la règle inutile à mémoriser : deux dettes s'ajoutent ; une dette et une recette se compensent, et il reste ce qui l'emporte.

Pourquoi « moins par moins fait plus »

La règle des signes de la multiplication passe pour une bizarrerie qu'on subit. Elle ne l'est pas : elle est forcée si l'on veut que la distributivité continue de fonctionner.

En pratique, on compte les facteurs négatifs : un nombre pair de signes moins donne un résultat positif, un nombre impair donne un résultat négatif. Cette formulation évite d'appliquer la règle deux facteurs à la fois et de s'y perdre au-delà de trois.

Les erreurs classiques

• 1.Appliquer la règle des signes à l'addition. « Moins par moins fait plus » ne vaut que pour la multiplication et la division. (−3) + (−4) fait −7, et non +7 : deux dettes s'ajoutent, elles ne s'annulent pas. C'est de très loin l'erreur la plus répandue du chapitre, et elle vient d'une règle apprise hors de son domaine.
• 2.Confondre le signe d'un nombre et le signe d'une opération. Dans 5 − (−3), le premier signe est une soustraction, le second appartient au nombre. Les parenthèses sont là pour les distinguer : les supprimer efface l'information.
• 3.Comparer deux négatifs à l'envers. −7 semble « plus grand » que −3 parce que 7 est plus grand que 3. Revenir à la droite graduée, ou à la dette, remet l'ordre à l'endroit en une seconde.
• 4.Perdre un signe en supprimant une parenthèse. −(a − b) vaut −a + b : le moins agit sur tous les termes. La même faute se retrouve tout au long du calcul littéral, où elle coûte beaucoup plus cher.
• 5.Oublier la parenthèse sous une puissance. (−2)² vaut 4, mais −2² vaut −4 : dans le second cas l'exposant ne porte que sur le 2. Voir les puissances.
• 6.Traiter le signe comme une décoration. Recopier une expression en oubliant un signe négatif est l'erreur la plus banale et la plus coûteuse, parce qu'elle ne se voit pas à la relecture rapide. Écrire les nombres négatifs entre parenthèses tant que le mécanisme n'est pas acquis règle le problème.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• La droite graduée et le repérage sur un axe, qui donnent l'image mentale de l'ordre.
• Les quatre opérations sur les nombres positifs, décimaux compris.
• La numération décimale, pour ne pas confondre distance à zéro et valeur.

Ce que ça prépare

• Le repérage dans le plan, où les deux coordonnées peuvent être négatives.
• Le calcul littéral et les équations, dont les règles de signes sont le préalable absolu.
• Les puissances d'exposant négatif et les fractions de signe négatif.
• Au lycée : la valeur absolue, qui n'est que le nom savant de la distance à zéro rencontrée ici.