🏷 Thème : Fonctions linéaires

Ce qu'il faut savoir

Une fonction linéaire est une fonction qui multiplie, et rien d'autre. On se donne un nombre a, appelé coefficient, et à chaque nombre x la fonction associe ax :

C'est de la proportionnalité, sous un autre nom

Une fonction linéaire n'est rien d'autre qu'une situation de proportionnalité écrite avec le vocabulaire des fonctions : le coefficient a est le coefficient de proportionnalité. Doubler x double f(x), le tripler le triple. Reconnaître cette parenté évite d'apprendre deux fois la même chose.

Cas le plus fréquent au collège : les pourcentages. Augmenter une quantité de 20 %, c'est la multiplier par 1,2 ; la diminuer de 20 %, c'est la multiplier par 0,8. Chaque fois, une fonction linéaire.

Trouver le coefficient, lire l'image, retrouver un antécédent

• Le coefficient se calcule à partir d'un seul couple connu : a = f(x) ÷ x, pour x non nul. Graphiquement, c'est l'ordonnée du point d'abscisse 1.
• L'image de x est ax : on part de x, on multiplie. On dit bien l'image : elle est unique, et c'est précisément ce qui fait de f une fonction.
• Un antécédent de y s'obtient en résolvant ax = y, ce qui donne y ÷ a lorsque a n'est pas nul. Ici il est unique — mais l'article indéfini n'est pas une coquetterie : selon la fonction, un nombre peut avoir un antécédent, plusieurs, ou aucun.

Linéaire ou affine ?

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. La fonction linéaire est le cas particulier où b = 0 — le seul où la droite passe par l'origine, et le seul qui traduise une proportionnalité. Autrement dit : toute fonction linéaire est affine, mais l'inverse est faux. L'inclusion ne va que dans un sens.

Le simulateur de fonction affine permet de le constater en direct : en faisant varier b, la droite se translate vers le haut ou vers le bas, et elle ne passe par l'origine qu'au moment précis où b s'annule. C'est à cet instant, et à cet instant seulement, que la fonction devient linéaire.

Les erreurs classiques

• 1.Confondre linéaire et affine. Dès que b n'est pas nul, il n'y a plus proportionnalité : doubler x ne double plus f(x). Le test le plus rapide reste graphique — la droite passe-t-elle par l'origine ? Si non, la fonction n'est pas linéaire, et tout raisonnement de proportionnalité tombe.
• 2.Échanger image et antécédent. Si f(3) = 6, alors 6 est l'image de 3, et 3 est l'antécédent de 6. Le sens de lecture : on calcule l'image en multipliant, on retrouve un antécédent en divisant.
• 3.Oublier « passant par l'origine ». Écrire que la représentation graphique est « une droite » ne vaut aucun point : c'est aussi vrai d'une fonction affine. La caractérisation complète est une droite passant par l'origine du repère.
• 4.Enchaîner deux pourcentages en les additionnant. Augmenter de 20 % puis diminuer de 20 % ne ramène pas au point de départ : on multiplie par 1,2 puis par 0,8, donc par 0,96 — il manque 4 %. Les coefficients se multiplient, ils ne s'ajoutent pas.
• 5.Lire f(x) comme un produit. f(x) n'est pas f multiplié par x : c'est le résultat obtenu en appliquant la fonction f au nombre x. La confusion mène à des simplifications imaginaires.

Avant et après

Ce qu'il faut maîtriser avant

• La proportionnalité et les tableaux de proportionnalité, vus dès le cycle 3.
• Le calcul littéral : manipuler une expression du type ax sans en avoir peur.
• Le repérage dans le plan, pour placer des points et lire un graphique.
• Les fractions et les quotients, indispensables pour calculer un coefficient.

Ce que ça prépare

• Les fonctions affines, dont la fonction linéaire est le cas b = 0 — et qui occupent une grande part du programme de 3ème.
• La résolution d'équations, quand on cherche un antécédent d'un nombre donné.
• La lecture et la construction de graphiques, réinvesties en statistiques.
• Au lycée, la notion de fonction tout court, dont les fonctions linéaires sont le premier exemple.